ご回答大変有難うございます。

F⊂R^d be a set of Hausdorff dimension α and let m_α denote the α-
dimensional Hausdorff measure. Let each of the following statements
as
TRUE or FALSE.

(a) If β>α,then m_β(F)>0.
(b) F is m_α-measurable.
(c) If f is m_α-measurable, then ∫_F f(x)dm_α<∞.
(d) If β<α, then m_β(F)=∞.

の(b)のみが未だ頓挫しております。

>>> m_α 自体は任意の集合について定義される外測度です.
>> m_α:=m^*_α|C (但し,C:={E;∀A⊂R^dに対し,m^*_α(A)=m^*_α(A∩E)+m^*_α(A∩E^c)})
>>  ではないのですね。
> わざわざ記号を分けたければそうしても良いでしょうが,
> 普通は同じ記号で十分でしょう.

ん?
つまり,∀E⊂R^dに対して,
∀A⊂R^dに対し,m^*_α(A)=m^*_α(A∩E)+m^*_α(A∩E^c)})は成立つのでしょうか?

本にはm_αはBorel集合にしか使えないような説明になっていますが。。。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p327_165.jpg

>> Eがm^*_α可測B(つまり,E∈C)の時,m^*_α(E)は
>> m_α(E)と書けるのだ とばかり思い込んでいました。
> それは好き好きです.

うーん,そうなんですか。。。

>> m^*_αとm_αは区別しないという事なのでしょうか?
> ちゃんと文脈が読めるなら, 区別しなくても分かりますから.

そうなのですか。

>> そうしますと,距離外測度と距離測度も区別しないのでしょうか?
> それは随分と飛躍した話ですね.

すいません。撤回します。

>> やはり,EがBorel集合の時にしかm_α(E)は書けないのですね。
> 別に E が Borel 集合でなくても, m_α(E) と書いて困ることは
> ないでしょう.

Borel集合でない集合Eでも必ず ∀A⊂R^dに対してm^*_α(A)≧m^*_α(A∩E)+m^*_α(A∩E^c)が成立つとは限りません
よね。

>> m_1はLebesgue測度mの定数倍な測度ですから(∵某命題) m_1(q・F)=c_d m(q・F)
>> (但し,c_dは定数) =c_d・q^d m(F) (∵Legesgue測度の性質) ですが
> q・F は F の点 x を q だけずらした x + q の集まりを
> mod 1 で考えたものです. q の作用は q 倍ではありません.

m^*_1(F)=m^*_1(qF)という命題があることを忘れておりました。解決です。

>> m_1(F)=c_dm(F)となり,一致しませんが勘違いしてますでしょうか?
> 勘違いしてますね.

そうでした。勘違いしておりました。

0<m^*_1([0,1))≦Σ_{q+Z∈Q/Z}m^*_1(qF) (但しq∈Q)の箇所の「≦」がどうしていえるの変わりません。
[0,1) ⊂ ∪_{q+Z∈Q/Z} m^*_1 q(∪_{q'∈Q} {x∈Q;x∈[0,1),q'x≡x+q'(mod Z)})
という単調性を利用してるのだと思いますが
どうすれば「⊂」が言えますでしょうか?

>> なるほど。m_1(F)はstrict Hausdorff次元なので,dimF=1と言える訳ですね。
>>  それでdimF=1からどうしてFはm_α可測でないと分かるのでしょうか?
> dim F = 1 ですから α = 1 で, 一方, F は m_1 可測でないわけです.
> 分かりませんか?

ちょっとすいません。0<m_1(F)<∞となるところまでは分かりましたがこれからどうしてdimF=1と言えるのでしょうか?
Hausdorff dimensionの定義からβ<1ならm_β(F)=∞,1<βならm_β(F)=0を言わねばなりませんよね。
これはそう簡単に言えますでしょうか?

それとdimF=1ならどうしてFはm^*_1可測ではない(つまり∀A⊂R,m^*_1(A)≧m^*_1(A∩E)+m^*_1(A∩E^c))が
言えるのでしょうか?


吉田京子