いつもお世話になっています。

週末,ずっと考えていたのですがせっかくのヒントの意味が理解できず苦し紛れの解答です。
今,「線形汎写像Lがpositive(f≧0⇒L(f)≧0)ならL(f):=∫_a^b fdμを満たす,Borel測度μが一意的に採れる」
という事を示したいのですよね。

[Def] 「Xを全体集合とする。(2^X⊃)MがXでのπ-systemである ⇔(def) ∀E_1,E_2∈Mに対し
E_1∩E_2∈M.」
[π-systemの補題] MをX上のπ-systemとする。μ_1とμ_2はσ(M)上で有限測度(但し,σ(M)はMから生成されるσ集合体)
でM上でμ_1=μ2でX_n↑Xなる単調増加集合列{X_n}が存在し,任意のn∈Nでμ_1(X_n)=μ_2(X_n)<∞ならばσ(M)上で
μ_1=μ_2となる」

という補題が利用できるのではと思いました。

(存在性)
M:={[a,b'];a≦b'≦b}とするとMは明らかにπ-systemである。
そして,σ(M)は[a,b]上のBorel集合体となる(∵閉集合全体から生成されるσ集合体はBorel集合体)。
そこでμをσ(M)上で次のように定義する。
μ(I):=|f^-1([0,∞))∩I|  (つまり,(σ(M)∋)I内でf≧0なる部分区間の合計の長さで,特にμ(φ):=0)と定義する
と
∀I⊂σ(M)に対してμ(I)⊂[0,∞]を満たし,明らかに可算加法性も満たすのでμは測度,即ちBorel測度となる。
よって存在性が示された。

この時,μの定義よりμ([a,b])≦b-a<∞なので勿論μはσ(M)上でも有限。

(一意性)
上記のようなBorel測度が二つμ_1,μ_2あったとするとμ_1とμ_2はσ(M)上で有限で
∀[a,b']∈Mに対し,明らかにμ_1([a,b'])=μ_2([a,b'])となるのでM上でμ_1=μ_2.
そして[a.b]への単調増加列{X_n}としてX_1=X_2=…=[a,b]と採ればμ_1([a,b])=μ_2([a,b])<∞となる。
従って,π-systemの補題より,Borel集合体σ(M)上でμ_1=μ_2.     (証終)


となりました。Lがpositiveであるという仮定は何処で使えばいいのか分からなかったのですがこれで大丈夫でしょうか?