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From: KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com>
Newsgroups: fj.sci.math
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Date: Sat, 27 Jun 2009 12:13:04 -0700 (PDT)
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いつも大変お世話になっております。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/linear_algebra/no8.jpg
という証明問題です。

self-adjoint operatorの定義は
「VとV'をHilbert空間とすると任意のA∈{A∈Map(V,V');Aは線形写像}:=L(V,V')に対して,
<x,By>=<Ax,y>(for∀x∈V,y∈V'、<,>は内積の記号)なるB∈L(V',V)が一意的に存在する。
この時のBをAのself-adjoint operatorと呼ぶ」

orthogonal projections E_jの定義は
「Vの標準基底を{e_1,e_2,…,e_r}とするとV=span(e_1)(+)span(e_2)(+)…(+)span(e_r)と直和で表
される。
任意のv∈Vに対してspan(e_1),span(e_2),…,span(e_r)の元x_1,x_2,…,x_rの一次結合v=Σ_{j=1}
^∞ a_j x_jとして
一意的に表される。この時,E_jx = a_j x_j と定義する」

eigenvalueの定義は
「F上の線形空間V,V'に於いて,A∈L(V,V')に対して,Ax=λxなる0≠x∈V,λ∈Fが存在する時,
λをAの固有値,xをλによるAの固有ベクトルという。」

表現行列の定義は
「f∈L(V,V')とし,{v_1,v_2,…,v_s},{w_1,w_2,…,w_t}をV,V'夫々の基底とする時,
f(v_j)=Σ_{i=1}^t(a_ij)w_i (j=1,2,…,s)なる行列(a_ij)を
fの基底{v_1,v_2,…,v_s},{w_1,w_2,…,w_t}に関する表現行列と言い,[f]と表す。」

です。

(i)より,∀i≠jに対して,α_i,α_jは相異なる。
(ii)より, E_j≠0(:零写像)で∀i≠jに対して,E_iE_j=0:(零写像)。
(iii)より,∀v∈Vに対して,(Σ_{j=1}^r E_j)(v)=Σ_{j=1}^r E_j(v)=v,つまりΣ_{j=1}^r E_j
は恒等写像。

それからどのようにしてこのα_jがdet([A]-α_jI)=0
(但し,[A]はVの基底{v_1,v_2,…,v_r},{w_1,w_2,…,w_r}に関する表現行列,Iは単位行列)
を満たす事を示せばいいのでしょうか?