ご回答大変ありがとうございます。


> 元の話は p = 1 の場合だったと思いますが,

http://groups.google.co.jp/group/fj.sci.math/browse_thread/thread/5f9817ca139daf59?hl=ja#

より,1≦p<∞です。

> 最初の仮定が g_k → g in L^∞ ではありませんでしたか?

いえ, g_k → g はただの収束です。


> L^∞ に入る以上, それらは可測関数です. 定義をお確かめ
> 下さい.

そうですね。でもg_kは‖g_k‖_∞≦Mですがg_k∈L^∞とは記載されてません。
でも‖‖_∞の定義はL^∞に対して定義され事が分かりました!!
よってg_kはΣ可測です。よってg_k→gならg_k→g a.e.なのでgもΣ可測で
f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)とf(x)g_k(x)-f(x)g(x)もΣ可測である事が言え、
従って,ご紹介いただいたとおり,
(∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ)^(1/p)
=‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p
≦‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)‖_p+‖f(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p (∵Minkowskiの不等式)
=(∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)^(1/p)+(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|
^pdμ)^(1/p)
≦((∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)+(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ))^
(1/p)
即ち,
(∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ)^(1/p)
≦((∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)+(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ))^
(1/p)
あとは両辺をp乗して
∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ
≦∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^p+|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ
となるのですね。