ご回答大変有難うございます。

>> σ集合体は空でない集合族という定義があるのですかね。
> 普通, σ集合体といえば空でないものを指しますが,
> いずれにせよ, N は空集合と X を含みますから,
> { E ; ∀A ⊂ X, ν_*(A) = ν_*(E∩A) + ν_*(E∩A^c) } は
> N ではありません.

そうでした。既に反例を挙げてましたね。

>> ここでは(a)は真だと思ってましたので,
>> Nはσ集合体でν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for every A⊂X
>> を使ってしまいました。
>> 素直にν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E^c∩A) for every A⊂Xを使うほうが賢明ですね。
> 勿論, それが N の定義です.

これもそうでした。勝手にNの定義を変えておりました。
NはCaratheodory可測な集合の族でしたね。

> (c) について,
>> ここでも(a)からNがσ集合体を満たさないので偽なのですね。
> いや, だから, それは N ではありません.
> N は勿論σ集合体です.

これもそうですね。
NはCaratheodory可測な集合族でしたから過去の命題より,σ集合体になるのでしたね。

吉田京子