工繊大の塚本です.

だから, u = 0 のどんな近傍でも良いですから,
\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)
の成立が分かれば, 後者の |u| < 2 \pi での正則性から,
前者の収束半径が 2 \pi 以上であることが分かり,
後は何も示す必要がない筈です.

In article <jtsa9p$t0e$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__01.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__02.jpg
> でM-testで一様収束性が示せるかと思ったのですがuの範囲は|u|<2πなので
> Σ_{n=0}^∞M/u^nが優級数になるのかさえ分かりません。
> やはり,どうすればいいのでしょうか?

 u が |u| \leq r_1 < r_2 < 2 \pi のときは,
 r_2 に対して |B_n(x)/n!| \leq M/(r_2)^n となる M を取って,
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n に対する優級数としては,
 \sum_{n=0}^\infty M (r_1/r_2)^n を取ることになりますが,
そもそも, そういう話が必要ですか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp