Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!feeder.erje.net!eternal-september.org!feeder.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: L(r,χ)=1/(r-1)!・(-2πi/N)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)の証明 Date: Sat, 4 Jun 2011 04:42:46 GMT Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 79 Message-ID: <110604134246.M0127819@ras2.kit.ac.jp> References: <985ebdb5-6ccb-4a70-a6a8-c01763df8057@d27g2000vbz.googlegroups.com> <110509193002.M0117506@ras1.kit.ac.jp> <110526172900.M0124617@ras1.kit.ac.jp> <69fa46dd-d9be-4b4f-80a9-c08ff27a50af@dq9g2000vbb.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp Injection-Info: mx04.eternal-september.org; posting-host="Pfj2j4fxHl4163tIz9+1ng"; logging-data="9872"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX19aoD4OaRQ41uocT0r6RBUF" X-Newsreader: mnews [version 1.22PL7(UNI)] 2008-02/02(Sat) Cancel-Lock: sha1:6CBKykQqmVI0q4DeD/SkvO01NNU= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3362 工繊大の塚本です. In article <69fa46dd-d9be-4b4f-80a9-c08ff27a50af@dq9g2000vbb.googlegroups.com> KyokoYoshida writes: > 『Suppose f(x)=Σ_{k=0}^∞a_kx^k has radius of convergence R=1, and that > Σ_{k=0}^∞a_k converges. Then lim_{x→1-0}f(x)=Σ_{k=0}^∞a_k.』 > がAbelの定理ですよね。 その定理を証明するときに, b_n が正で単調減少であり, ある正数 M について, 任意の自然数 n \leq m について, |\sum_{k=n}^m a_k| \leq M であれば, 任意の自然数 n \leq m について |\sum_{k=n}^m a_k b_k| \leq M b_n となることが使われるのですが, そのことを使うと, b_n が正で単調減少であり, \lim_{n \to \infty} b_n = 0 であり, ある正数 M について, 任意の自然数 n \leq m について, |\sum_{k=n}^m a_k| \leq M であれば, \sum_{n=1}^\infty a_n b_n は収束する, ということが導かれ, これも Abel の定理と呼びます. > Σ_{m=N}^∞χ(m)/m=χ(N+1)/(N+1)+χ(N+2)/(N+2)+χ(N+3)/(N+3)+… > =χ(1)/(N+1)+χ(2)/(N+2)+χ(3)/(N+3)+… > (∵今,χは法NのDirichlet characterなのでDirichlet characterの定義) > からAbelの定理をどのように利用すればいいのでしょうか? |\sum_{k=n}^m \chi(k)| \leq M となる M の存在を言って, 上の Abel の定理を使えば, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n の 収束が出ます. > 1/4(Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a > +Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m) > からどうやって > =1/4(4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m) > に持っていけるのでしょうか? \chi(nN) = 0 ですから, (1/4)(\sum_{m=N+1}^\infty \chi(m)/m + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{m=-1}^{-\infty} \chi(m)/m + \sum_{m=-1}^{-\infty} \chi(m)/m + \aum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{m=N+1}^\infty \chi(m)/m) = (1/4)(2 \sum_{n=1}^\infty \chi(m)/m + 2 \sum_{n=-1}^{-\infty} \chi(m)/m) となりますが, -m = m' とすれば, \sum_{m=-1}^{-\infty} \chi(m)/m = \sum_{m'=1}^\infty \chi(-m')/(-m') = \sum_{m'=1}^\infty \chi(-1) \chi(m')/(-m') = \sum_{m'=1}^\infty (-1) \chi(m')/(-m') = \sum_{m'=1}^\infty \chi(m')/m' なので, 求める式が得られます. > つまり,L(s,χ)の定義がよく分かっておりませんでした。 > L(s,χ)のsの定義域は{s∈C;Re(s)>1}とは限らず > L(s,χ)が収束するようなs全体と言えるのでしょうか? L(s, \chi) 自体は Re(s) > 1 で収束するベキ級数を 解析接続して定義されます. 特に, s = 1 でも ベキ級数が収束していれば, Abel の定理で, L(1, \chi) はそのベキ級数の値に等しくなります. > そうしますと > [定義] Let m∈N and χ^(m)∈DC(m). Then we definite Map({s∈C;Re(s)>1} > ×DC(m),C)∋L(,); > L(s,χ^(m)):=Σ_{n=1}^∞χ^(m)(n)/n^s is called Dirichelt L function about > χ.　 > > という定義は間違いでしょうか? \zeta(s) が, Re(s) > 1 で定義される \sum_{n=1}^\infty 1/n^s とは違い, それを解析接続したものであるのと同様に, 間違っています. -- 塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp