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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: ζ(s)=π/6の証明で
Date: Fri, 4 Feb 2011 09:38:56 GMT
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 29
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3253

工繊大の塚本です.

In article <8940614c-97e2-4845-8543-a5503bb4e568@1g2000yqq.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 公式Σ_{n=1}^∞1/n^2=π^2/6を使えばよかったのですね。

今, \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = \pi^2/6 を導こうと
しているのに, それを公式として使っては意味がありません.

> お蔭様で下記のように上手くいきました。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_1_2050.JPG

だから, 全く肝心なことが分かっていない.

 \sin(\pi x)/(\pi x) を \sin(\pi x) の Taylor 展開を用いて
ベキ級数に展開した [1] と,
 \sin(\pi x)/(\pi x) = \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
の展開を用いてベキ級数に展開した [2] が,
同じ \sin(\pi x)/(\pi x) の展開であるから一致するので,
 [1] と [2] の各 x^{2n} の係数は等しく,
特に, x^2 の係数は等しくなります.

そうすれば自然に \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = \pi^2/6 が
出ますし, x^4 の係数が等しいことを用いて少し工夫すれば,
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^4 も計算できるのです.
後者の計算が出来るまで, 良くお考え下さい.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp