Re: ζ(s)=Π_{p:素数}(1-1/p^s)^-1が示せません

工繊大の塚本と申します.

In article <9f9e6a70-8e51-48a1-8982-d42d4d588643@k9g2000yqi.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ζ(s)=Π_{p:prime number}1/(1-1/p^s)を示しています。
> 
> (1/2^s)ζ(s)=1/2^s+1/4^s+1/6^s+…
> (1-1/2^s)ζ(s)=(1+1/3^s+1/5^s+1/7^s+…)-(1/22^s+1/24^s+1/26^s+1/28^s+…)

間違っています.

> (1-1/2^s)(1-1/3^s)ζ(s)=(1+1/5^s+1/7^s+1/11^s+1/13^s+…)-(1/22^s+1/24^s
> +1/26^s+1/28^s+1/30^s+\xE2
やはり間違っています.

> (1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/4^s)龍(s)=(1+1/5^s+1/7^s+1/11^s+1/13^s+1/17^s
> +1/19^s+眈                                                        ⑧丑含鵯丑屋潁
\xBE ɜ�$(D??嘩鵯丑牡潁ɜ�$(D??衿鵯丑外潁\xE2
だから, 次は (1-1/4^s) ではなくて,
 (1-1/5^s) でないと駄目だよ, と以前に注意しました.

> と続くのですが

既に間違っているので, どうしようもありませんが,
 
> http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html\xE3^A\xAE
> ページの式(56)から式(61)が参考にしたのですが

貴方の式は参考にし損ねていますね.
 
> 58行目と59行目と60行目の右辺
> (1+1/3^s+1/5^s+1/7^s+…)-(1/3^s+1/9^s+1/15^s+…)

これを計算すると, \sum_{n=1}^\infty 1/n^s で
 n が 2 の倍数であるときの項 1/n^s を除いたものの内から,
更に n が 3 の倍数であるときの項 1/n^s を除くことになります.

# 「除いたものの *内から*, 除く」というところが肝心.

> から
> ζ(s)Π_{n=1}^∞(1-p_n^-s)

 \zeta(s) \prod_{n=1}^r (1 - (p_n)^{-s})

を計算すると, \sum_{n=1}^\infty 1/n^s から,
 n が p_1, p_2, \dots, p_r のどれかを因数として
含むときの項 1/n^s を除いたものの和になります.

> から
> 1
> となるのがどうしてもわかりません。

最後に残るのは, どんな素数 p も因数として含まない数
 n = 1 に対応する項 1/n^s = 1 だけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp