工繊大の塚本です.

In article <e53c4577-f480-4121-9262-9f39f0068cce@s9g2000vby.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> "無限回取る"とはどういう意味でしょうか?

ゼータは零でない任意の複素数を
無限個の異なる s  (Re(s) > 1) において
その値として取る, のです.

> 振動とはΣ_{n=1}^∞1/n^s=lim_{k→∞}Σ_{n=1}^k 1/n^sの極限値が
> 振動する場合があるのか知りたかったのです。

 Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s は Re(s) > 1 に
おいて常に絶対収束します. その収束は Re(s) > 1 において
広義一様です.

> つまり,関数らから成り立っている等式で
> その中のある関数を求める事が可能なものを関数等式と呼ぶのですね。

だから違います. 問題としている関数以外は良く知られた
関数だけが出てくるというのでないと, あまり役に立ちませんが,
問題としている関数がその関数等式から決まるということは
全く要請されていません.

> g,hが既知の関数ならf(x)+√g(x)=ch(x)^2も関数等式と呼べ,
> g,hが未知の場合はfを求めようがないので関数等式とは呼べず
> ただの陰関数という訳ですね。

違います. g(x), h(x) が既知の関数の時,
 f(x) = h(x) f(g(x)) なら関数等式と呼べるでしょう.
それから f(x) が決まる必要はありません.
例えば, f(x) = f(-x) は, f が偶関数であることを表す
関数等式ですが, このような f はいくらでもあるわけです.

> f(x):=x^2,g(x):=x,h(x):=cと見立てれば

 f(x) = x^2 etc. なら既に f(x) は良く分かったものなので,
 f(x) についての性質を調べることにはあまり意味がありませんし,

> x^2 + a x + c = 0はf(x)+ag(x)+h(x)=0と書けるの

 x^2 + a x + c = 0 は特別な x の値に対してしか
成立しませんから, 関数としての f, g, h について
 f + a g + h = 0 が成立しているわけでもありません.

> で関数等式になると思ったのですが。

だからなりません.

> 更にf(x):=x^2+ax+cと見立てればf(x)=0も関数等式と呼べると思ったのですが

 f(x) = x^2 + ax + c は「恒等的に零」なる関数 0 とは
違いますから, f = 0 は成立しません. つまり「関数等式 f = 0 」は
成立しません. 特別な変数 x の値について, f(x) = 0 が成り立つかも
知れないという意味で, 「方程式 f(x) = 0 」には意味があるでしょう.

> (何の前提もなくいきなりf(x)=0で関数f(x)を求めよと言われても
> 求めようがありませんが)

だから, f を求めるということとは関係ありません.

> つまり纏めると

纏まっていませんが,

> 簡単な例としては漸化式とかも関数等式と呼べ,
> 一般的にはf_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x)が
> 四則演算・冪・階乗などが組み合わさった等式,
> つまりψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0という風に表されていて,
> f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x)の関数らからある関数(ら)が求めれる場合のみ
> ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0は関数等式であると呼べるのですね?

どこからそんな話が出てくるのでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp