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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: Legendreの2平方数の和の定理
Date: Fri, 19 Nov 2010 09:14:38 GMT
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 144
Message-ID: <101119181438.M0130109@ras2.kit.ac.jp>
References: <13ef1151-d50e-4578-8561-cb51800ab50f@26g2000yqv.googlegroups.com>
	<101101184816.M0130070@ras1.kit.ac.jp>
	<20567c34-81ef-453a-a1ca-9e48b4d8bdf7@j25g2000yqa.googlegroups.com>
	<101105123937.M0102780@ras1.kit.ac.jp>
	<bb122ba5-9e33-4f77-95c8-6995f08643e0@g4g2000prj.googlegroups.com>
	<101108173405.M0201714@ras2.kit.ac.jp>
	<edb1f4a5-bbe1-4dd5-8934-a49b63fe259b@r6g2000vbf.googlegroups.com>
	<101115192839.M0229369@ras1.kit.ac.jp>
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3186

工繊大の塚本です.

In article <1589e2b7-6367-45da-9bd0-56bcf35fa7e8@r14g2000yqa.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 確認なのですがGaussian primeの定義は
>  a \in Z[i] is a Gaussian prime number. 
>  \Leftrightarrow { x \in Z[i] ; x|a } = {\pm 1, \pm i, \pm a, \pm ia)}.
> ですよね。

はい.
 
> In article <101115192839.M0229369@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > ここまでの変形は, 間違いではありません.
> > しかし, この議論では f_j が全て偶数であることが
> > 「十分」であることしか出ないでしょう.
> 
> f_j が全て偶数であればNを平方の和として書けるとは限らないのですね。

話が噛み合いませんね.

 f_j が全て偶数であることが N を平方の和として書けることの
十分条件である, つまり,
 f_j が全て偶数であれば N を平方の和として書けることは,
貴方の計算を続けていって示すことも, 丁寧に計算すれば,
可能でしょう.
しかし, f_j が全て偶数であることが N を平方の和として書けることの
必要条件である, つまり,
 f_j が全て偶数でなければ N を平方の和として書くことが
出来ないことは, 貴方のやっている計算では出ません.
 f_j が全て偶数であることが N を平方の和として書けることの
必要十分条件であることを示そうとしているのですから,
ちゃんと議論しないといけません.

# 十分であることが出せていないということは,
# 未だその議論の入り口に辿り着いていないということなので,
# その議論を示すことは止めておきます.

> >  N = (A + i B)(A - i B) となっていれば,
> >  (A + i B)(A - i B) = A^2 + B^2 なので,
> >  N = A^2 + B^2 であることは明らかです.
> 
> そうですね。

全然分かっていませんね.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst2.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst3.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst4.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst5.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst6.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst7.JPG
> 
> という具合に計算して(A'^2+B'^2)にはなってますが
> 取り合えず2平方の和になる事は確認できました。

だから, 途中の計算は, 貴方の言う, N = (A'_1)^2 + (B'_1)^2 に
なることを示すのには全く無意味でしょう.

もう一度書いておきますね.

 N = 2^t \prod_{i=1}^r [(a_i)^2 + (b_i)^2]^{e_i} \prod_{j=1}^s q_j^{f_j}
 = (-i)^t (1 + i)^{2t}
   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{e_i}(a_i - i b_i)^{e_i}]
   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j}
 = u (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
   \times
   u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}(a_i - i b_i)^{x_i}]
   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
 = u (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
   \times
   u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
と N を書き表すとき(但し, u は任意の unit, 0 ≦ x_i ≦ e_i),
  u (1 + i)^t
  \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
  \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
を計算した結果が A + i B (A, B は ordinary integer) であったとすれば,
その複素共役 A - i B は
  u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
  \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
  \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
を計算した結果に一致しますから,
 N = (A + i B)(A - i B) = A^2 + B^2 となります.
ちゃんと議論すれば,
これ以外に, N を Gaussian integer A + i B と
その複素共役 A - i B との積に書く書き表し方がないことが示せますから,
このような書き方の全体が N を ordinary integer の平方の和 A^2 + B^2 に
書く書き表し方の全体になります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst8.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst9.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst10.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst11.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst12.JPG
> 
> の所まで来たのですが

 A + i B の中をまとめ上げ直しても意味がありませんよ.

 A + i B の複素共役 A - i B = \overline{A + i B} は
 \overline{A + i B}
 = \overline{ u (1 + i)^t
              \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
              \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2} }
 = \overline{u} \overline{(1 + i)^t}
   \overline{ \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}] }
   \overline{ \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2} }
 = u^{-1} (1 - i)^t
   \prod_{i=1}^r [\overline{(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}}]
   \prod_{j=1}^s \overline{q_j^{f_j/2}}
 = u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
となる, で御仕舞です.

> x_1≦e_1 and x_1 is evenの時は
> (a_1-b_1√(-1))^{e_1-2x_1}と(a_1+b_1√(-1))^{e_1-2x_1}の所は
> どう処理すればいいのでしょうか?

そういう変なまとめ上げ方をすることにはまったく意味がありません.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst13.JPG
> とかにしたら残りの(a_1-b_1√(-1))^{e_1-2x_1}と(a_1+b_1√(-1))^{e_1-2x_1}は
> 処理できて2平方数の和になりますが
> 更にuz^tの積の部分とu~z^t~ (~は共役を表す) の積の部分は計算していっても
> 最終的には
> A+B√(-1)とA-B√(-1)の形といううまい具合になりませんよね?

全体を見れば, お互いに複素共役になっているのは明らかです.
 
> A+B√(-1)とC-B√(-1)という風に異なったGaussian integersが出来上がるだけだ
> と思うのですが。。。

単なる勘違いですね.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp