工繊大の塚本と申します.

In article <6345c5a7-792d-4ccf-b627-1eab565b6cfd@s9g2000yqd.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_34.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_35.jpg
> を参考にして下記の[Exercise15を証明しています。

これは山本芳彦著「岩波講座 現代数学への入門 数論入門１」岩波書店
からの抜粋ですね. 問 15 は

  例 5.34 ~ 例 5.36 について, (5.4), (5.5) が成り立っていることを
  確かめよ.

というもので, その (5.4), (5.5) の内容は,

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/exercise15_No0.JPG

に書かれてあるものとは少し違います.

  (省略). このとき, 次のことが知られている.
    χ を素数 p のベキ m = p^e を法とするディリクレ指標とする.
    (i) χ = χ_0 (単位指標)のとき,
        G(χ_0) = 1    e = 0  χ_0 原始的
                 -1   e = 1  χ_0 非原始的
                 0    e ≧ 2  χ_0 非原始的         (5.4)
    (ii) χ ≠ χ_0 のとき,
        |G(χ)| = 0    χ 非原始的
               = √p^e χ 原始的                    (5.5)

 χ_0 は ("the primitive character modulo p^e" ではなく,)
 principal character, 即ち, χ_0 = ρ_1^{(m)} です. 定義は
 ρ_1^{(m)}(a) = 1  (a, m) = 1, ρ_1^{(m)}(a) = 0  (a, m) ≠ 1 ですね.
なお, m = 1 のとき ρ_1^{(1)} = ρ_ 1 は 恒等指標で,
任意の整数 a について ρ_1(a) = 1 です.
 127 page に注意があるように, cond(ρ_1^{(m)}) = 1 ですから,
 e = 0 で m = p^0 = 1 のときだけ χ_0 は primitive です.
そのとき, G(χ_0) = 1 であることも良いでしょう.

例 5.34 について示すべきことの一つは,
 ρ_1^{(3)} = χ_0 が非原始的で G(χ_0) = -1 であることですが,
それは良いですね.

例 5.34 について示すべきもう一つのことは,
 ρ_3 ≠ χ_0 は(例に書かれてあるように)原始的であるので,
 |G(ρ_3)| = √3 となることです.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/exercise15_No1.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/exercise15_No2.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/exercise15_No3.JPG
> 
> example5.34に関する箇所で赤の??が分からないところです。
> どうしてcond(ρ_3)<3が言えるのでしょうか?

それを示そうとすること自体が間違っています.
 ρ_3 は原始的であり, cond(ρ_3) = 3 です.
 127 page の注意,

    また, 素数 p を法とする単位指標以外のディリクレ指標は
  原始的である. よってその導手は p である.

を御参照下さい.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp