工繊大の塚本です.

In article <a7acd255-473e-4248-bf79-3b85f7f1e7cf@q23g2000vba.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > そもそも, log z が z = 1 のまわりで
> > そういうベキ級数表示を持つことは
> > どうやって示しましたか. それを考えれば,
> 
> ln(z+1)のLaurent展開は
> ln(z+1)=Σ_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} z^n/n (但し,-1<z≦1)だから

複素変数 z で考えているのだから, |z| < 1 での式ですね.
 Abel の補題を使うと, 実変数 x については [0, 1] での
一様収束性が言える.

> ln(z)=ln((z-1)+1)= Σ_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} (z-1)^n/n (但し,-2<z-1≦0)ですよね。

これは |z - 1| < 1 での式. 実変数 x で考えるなら, 0 < x ≦ 2.

で, そもそも, log(1 + z) の Laurent 展開はどうやって
導いたのですか. 

 exp z を Σ z^n/n! で定義して, その解析性を示すのは
良くある話ですが, 貴方にとって, log z とは何で,
その解析性が分かるのはどのような道筋によるのでしょう.

知っていることが論理的にどのように結びついているのかが
分かっていないと, 本当に知っていることにはなりません.

> > x についての条件が抜けていますよ.
> 
> 「a_n>0とする時,Σ_{n=1}^∞ (-1)^n a_n x^nが収束する
> ⇔lim_{n→∞} a_n x^n =0 (但し,-2<x≦0)」
> 
> でいいのでしょうか?

 x = -1 だと駄目だという例を挙げておいたのですから,
もう少し慎重に考えられた方が良いと思います.

 Abel の補題がどのように何を示すために使われるのか,
もう一度御確認下さい.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp