工繊大の塚本です.

少し間が開きましたから, 疑問点として何が残っているか
良く分かりませんが,

In article <952a5e74-ad81-4fee-8615-8201a92bcdf8@o39g2000vbd.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 今まで公理や恒真命題を勘違いしておりました。
> 恒真命題も「真である」事が仮定される命題の事だったのですね。

公理は, それを満たすものとして数学的対象を定義する
のに使われているのですから, その数学的対象を扱うに
おいては「真である」ことが仮定されるわけです.

恒真命題というのは, 命題論理学での術語です. 混同し
て使われない方が宜しいでしょう. 恒真命題とは常に真
である命題である, というときの「真」も命題論理学で
の術語です. それは, 公理とは真であることが仮定され
る命題である, というときの, 一般的な言語における真
とは区別すべきです.

> ふーむ。排中律が真だと仮定した時にだけ金閣寺の命題は
> 恒真命題だと断言できるのですね。

何を公理とするかによって, 何が恒真命題になるかも
当然変わります.

> 群の例を複数個すぐに挙げれますが,
> 集合(ZFCを満たすmetacategory)の例を複数個挙げる事は
> 簡単な事ではありませんよね?

まあ, 連続体仮説が ZFC とは独立であることなどを
勉強されて見ると良いかも知れません.

> Euclidの公理系とZFC公理系は全く何の繋がりも持たないように思えますが。

本来の Euclid の公理系は, 今日では「公理系」と
しての形をなしていないと考えられますので, 例えば
 Hilbert による Euclid 幾何学の公理系を考えますと,
そこに出てくる「点」「直線」「平面」などは, 集合で
あることが通常仮定されていると思います. その意味では
 Euclid 幾何学は ZFC 公理を満たす集合論の上に構築
されているということになるでしょう. 但し, 集合で
あるとの仮定が本当に必要なものであるかどうかは
検討したことがないので, まあ, 繋がりがないとしても
良いのかも知れません.

 category でなく metacategory で議論しないといけない
場合はあり, それに伴って気をつけないといけないことも
ありますが, 初学者は余り気にされない方が良いでしょう.

あとは一応解決されているとの判断で宜しいでしょうか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp