Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!news.unit0.net!feeder.eternal-september.org!eternal-september.org!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: ∀x∈[0,2π]に対してf_n(x)=sin(nx)の時,lim_{i→∞}f_{n_i}(x) exists for all x∈[0,2π]なるn_1 References: <238d3754-5aa2-475b-9f2d-d8aa9306733f@13g2000prl.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX1/4mu8P4rslSofXCUmXSW0GiEZOJoTz2uwuve0eyfQhW8QmiXauGoUk4uHsjQ0o2pHgPrTujtCZJkcUOFJk9lRp80t89JFR0JRoME6VR6LDC9G8EXC2Osxu0FbmmvBush/kwEoVfv7bhQ== X-Complaints-To: abuse@eternal-september.org NNTP-Posting-Date: Mon, 27 Jul 2009 12:55:22 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX18n4KTRKvbuTXgxc8RGeeXO9l5PvhxkWSs= Cancel-Lock: sha1:/7hONY+jeIvM83tyFUugh+RLYOc= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2989 工繊大の塚本と申します. In article <238d3754-5aa2-475b-9f2d-d8aa9306733f@13g2000prl.googlegroups.com> KyokoYoshida writes: > [Q.] For n=1,2,3,…, let f_n:[0,2π]→R be defined by f_n(x)=sin(nx), for > all x∈[0,2π]. > Choose a sequence n_i, so that n_1 (1) lim_{i→∞}f_{n_i}(x) exists for all x∈[0,2π]. > From this follows > (2) lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0 exists for all x∈[0,2π]. > From this follows > (3) lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2=0 exists for all x∈[0,2π]. > From this follows > (4) lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=0 > But > (5) lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=2π > which is an obvious CONTRADICTION. > What do you conclude from this? > http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Real_Analysis/No4_20090726.jpg > > という問題です。あまり問意がよく分からないのですが > これは矛盾を探せばいいのでしょうか。 矛盾が生じたのであるから, この議論のどこかがおかしい わけです. どこに誤りがあるかを指摘せよ, ということでしょう. > (1)については f_2(x)=sin(2x),f_3(x)=sin(3x),f_4(x)=sin(4x),… > でこれらは[0,2π]の区間で > 周期が2π/2,2π/3,2π/4,… となっていき, > n_1 x=0とx=2πの時だけがf_{n_i}(x)=0でlim_{i→∞}f_{n_i}(x)が存在し, > それ以外のx∈[0,2π]ではsin(n_ix)は振動するだけだと思うので, > 任意のx∈[0,2π]に対してlim_{i→∞}f_{n_i}(x)が収束するような > n_1 (2)についてはもし任意のx∈[0,2π]に対して, > L:=lim_{i→∞}f_{n_i}(x)が収束するようなn_1 lim_{i→∞}sin(n_ix)もlim_{i→∞}sin(n_{i+1}x)も収束するので > lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)] > =lim_{i→∞}sin(n_ix)-lim_{i→∞}sin(n_{i+1}x)=L-L=0 > となると思います。 はい. > (3)についてはlim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0なら > lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2=lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)] > lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)] > =0・0=0 はい. > (4)についてはlim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0が一様収束なら > lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx > =∫_[0..2π]lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx(∵項別積分の定義) > =∫_[0..2π]0dx=[C]^2π_0(但し,Cは積分定数) =0となりますが > 一様収束かどうかは判断できませんよね。 各点 x ∈ [0, 2π] で, lim_{i→∞} [sin(n_i x) - sin(n_{i+1} x)]^2 = 0 であれば, 0 ≦ [sin(n_i x) - sin(n_{i+1} x)]^2 ≦ 4 ですから, Lebesgue の有界収束定理で, lim_{i→∞} ∫_0^{2π} [sin(n_i x) - sin(n_{i+1} x)]^2 dx = 0 となります. 一様収束性は必要ありません. > 直接,積分してみると∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx > =∫_[0..2π]sin(n_ix)^2dx sin^2(n_i x) = (1/2)(1 - cos 2 n_i x) > -2∫_[0..2π]sin(n_ix)sin(n_{i+1}x)2dx ^ sin(n_i x) sin(n_{i+1} x) = (1/2){ - cos (n_i + n_{i+1}) x + cos (n_i - n_{i+1}) x } > +∫_[0..2π]sin(n_{i+1}x)^2dx sin^2(n_{i+1} x) = (1/2)(1 - cos 2 n_{i+1} x) > =[-(sin(n_ix)cos(n_ix)-n_ix)/2]^2π_0 = [(1/2)(x - (1/(2 n_i)) sin 2 n_i x)]_0^{2π} > -2[(sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x))/(n_i-n_{i+1}]^2π_0 = [(1/2)( - (1/(n_i + n_{i+1})) sin (n_i + n_{i+1}) x + (1/(n_i - n_{i+1})) sin (n_i - n_{i+1}) x )]_0^{2π} > +[-(sin(n_{i+1}x)cos(n_{i+1}x)-n_{i+1}x)/2]^2π_0 = [(1/2)(x - (1/(2 n_{i+1})) sin 2 n_{i+1} x)]_0^{2π} > =2n_iπ/2n_i+0+2n_{i+1}π/n_{i+1}=2πなので 途中の計算は間違っていますが, 結果は正しい. > lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=lim_{i→∞}2π=2π. というのが (5) ですね. > よって(5)が正しくて(4)はCONTRADICTION。 > と答えればいいのでしょうか? (4) も (1) を前提とすると正しい. だからどう結論しますか? -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp