Path: news.ccsf.jp!norn-news!netnews.mcu.or.jp!jindaiji.chofu.tokyo.jp!gcd.org!news.unit0.net!feeder.eternal-september.org!eternal-september.org!not-for-mail
From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: z=(1+i)t t∈Rや|z|=1/3の時の1/zの像を求めよ
Date: Sun, 12 Jul 2009 20:10:17 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 55
Message-ID: <090712201017.M0210673@cs2.kit.ac.jp>
References: <9b9feac6-139e-49b4-9cbc-cfb737f11e88@f33g2000vbm.googlegroups.com>
Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp
X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX19TXvuUl2omQoQLDWPrZkFxe7JeB3O1Y8QCd9+EOXK+3SlrAbkpJePBDXb3Hf2cS86KO6djWu7EeW3f3TaXHuSjNCJcGlyZGeIyurN7dcCBrEiKqV3H4KiProUlpjyjEgI=
X-Complaints-To: abuse@eternal-september.org
NNTP-Posting-Date: Sun, 12 Jul 2009 11:10:18 +0000 (UTC)
X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed)
X-Auth-Sender: U2FsdGVkX1/V2HnoscXm1zUbnLK309lFtSFd9RqI1kg=
Cancel-Lock: sha1:ARy6bnJocfamkQVrE6x8aCtw9Lg=
Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2926

工繊大の塚本と申します.

In article <9b9feac6-139e-49b4-9cbc-cfb737f11e88@f33g2000vbm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [Q.] For each of the following areas, determine and sketch the area
> its image under the function f(z)=1/z.
> Label the axis, intercepts and angles property.
> (a) z=(1+i)t t∈R.
> (b) |z|=1/3 (Hint:Determine |f(z)| for the given area)
> 
> という問題です。
> 
> とりあえず(a)については
> z=(1+i)t t∈Rの範囲は
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph1_20090711.jpg
> この範囲でのf(z)の像は
> 1/((1+i)t)=1/(2t)-i/(2t)でX=1/(2t),Y=-i/(2t)と置くと
> Y=-iXとなるので点1-iを通る直線

それを言うなら, 原点と点 1 - i を通る直線でしょう.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph3_20090711.jpg
> になるかと思います。

そうですね.

> (b)については
> |z|=1/3は中心が原点で半径が1/3の円なので
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph2_20090711.jpg
> となり,z=cosθ/√3+isinθ/√3 (但し,0≦θ≦2π)と置くと

置くなら, z = (1/3)(cos θ + i sin θ) でしょう.
 |z| の計算が違ってきます.

> 1/zに代入して,1/(cosθ/√3+isinθ/√3)=cosθ-isinθとなるので

 1/z = 3(cos(-θ) + i sin(-θ)) ですね.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph4_20090711.jpg
> のようになるかと思います。

それは間違っています.

> Hintの意味が分かりませんでした。

 |z| = 1/3 なら |f(z)| = |1/z| = 1/|z| = 3 になるというだけで,
きちんと示すなら, z = (1/3)(cos θ + i sin θ) と表示することに
なりますね.

> どのように求めればいいのでしょうか?

求め方は良いでしょう.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp