Path: news.ccsf.jp!news.heimat.gr.jp!goblin1!goblin.stu.neva.ru!feeder.motzarella.org!news.motzarella.org!eternal-september.org!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: Hausdorff次元dimF=αならFはm_α-可測? fがm_α可測なら∫_F f(x)dm_α<∞? Date: Wed, 13 May 2009 19:08:14 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 53 Message-ID: <090513190814.M0115309@cs1.kit.ac.jp> References: <090507175857.M0308544@cs1.kit.ac.jp> <07379377-1658-406a-8b24-12eea0f2d94b@e23g2000vbe.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX1/Q78ft056sgnWcCz74ULJRwk3XKa/iOP5aaX3Blg5CBP3rJ4B5ztyRmRQGPXpeavPW7x/xTQ3pzskzroeSPdcM242Df5ILg+wdtlSlpQKKdDAE5ZYXtmmCWW67So8Ip7deapVDQril9w== X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Wed, 13 May 2009 10:08:15 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX19u3hYVJwX4ldiCg55OQapWkXUH2U0oF2Q= Cancel-Lock: sha1:kctqzjfBwLFysFTbPuDRCnu/CdY= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2804 工繊大の塚本です. In article <07379377-1658-406a-8b24-12eea0f2d94b@e23g2000vbe.googlegroups.com> kyokoyoshida123 writes: > m_αが外測度ってどういう事でしょうか? m_α 自体は任意の集合について定義される外測度です. それについて Caratheodory の意味で可測な集合の族が Borel 集合族を含むので, Borel 集合族上の測度と 考えているわけです. F を例に挙げた [0, 1) の Lebesgue 可測でない集合として, > dimF<1ならm_1(F)=0でdimF>1ならm_1(F)くらいしか分かりません。すいません。 先ず, F ⊂ [0, 1) ですから m_1(F) ≦ m_1([0, 1)) < ∞ です. [0, 1) = ∪_{[q] ∈ Q/Z} q・F (q・F は F に q を作用 させて得られる [0, 1) の部分集合) であり, m_1(F) = m_1(q・F) なので, 0 < m_1([0, 1)) ≦ Σ_{[q] ∈ Q/Z} m_1(q・F) ですから, m_1(F) = 0 ではありません. 結局 dim F = 1 です. > In article <090507175857.M0308544@cs1.kit.ac.jp> > Tsukamoto Chiaki writes: > > Borel 関数であれば m_α 可測関数です. R^1 では 失礼. 「 Borel 可測関数であれば m_α 可測関数です」 とするか, 「 Baire 関数であれば m_α 可測関数です」 とするのでした. > > ∫_F f(x) dm_1(x) = C ∫_F f(x) dx ですから, > > 直ぐに見つかるでしょう. > > fがm_α可測なら∀r→R,f^-1((0,r))∈M (但しMはHaudorff集合体) f が Borel 可測関数であれば, ∀r ∈ R, f^{-1}((0, r)) ∈ M (但し, M は Borel 集合体) であり, f は m_α 可測です. > fのcanonical formをf=Σ_{i=1}^K a_iχ_F_iとすると > ∫_F f(x)dm_1(x)=Σa_im_1(F_i)=Σa_iCm(F_i) > (∵上の命題よりこのようなCが存在する) > =CΣa_im(F_i) > よってここでf(x)=1と採ればC∫_F f(x)dm=∞となり∫_F f(x)dm_1(x)=∞ > でいいのかと思いましたが,m(F)=∞とは限りませんよね。 > どうすればm(F)=∞は言えるのでしょうか? F = R ⊂ R^1 を取れば, そうなりますね. 勿論, f(x) = 1 ではない例も作れます. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp