工繊大の塚本と申します.

In article <1a159cf9-098f-4551-b57c-1d5be2b7a00f@q2g2000vbr.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Prove that no group is the union of proper subgroups (HINT: you don't
> need any fancy theorem to prove this one).
> 
> という問題です。2つ真部分群の和集合であるような群は存在しない。
> 
> という事でしょうが,もし∃A,B<GでA∪B=GなるGの真部分群A,Bがあったとすると,,,
> これからどのような矛盾が出ますでしょうか?

 A ⊂ B なら A∪B = B は G に一致しないので,
 A＼B ≠ φ (空集合) であり, 同様に,
 B＼A ≠ φ です.

 a ∈ A＼B, b ∈ B＼A に対して, ab ∈ G = A ∪ B
ですが, ab ∈ A なら b ∈ A になりますし,
 ab ∈ B なら a ∈ B になり, どちらも最初の仮定に反します.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp