工繊大の塚本と申します.

In article <2d51f6d0-2c3e-4bfe-907e-5507c8de0d81@s28g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Let ν_* be an exterior measure on X and N the set of Caratheodory
> measurable subsets of X. Lebel each of the following statements as
> TRUE or FALSE.
> 
> (a) A set E⊂X is in N if and only if ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for
> every A⊂X.

 E が Caratheodory measurable であることの定義は,
任意の集合 A について ν_*(A) = ν_*(A∩E) + ν_*(A∩E^c)
となること, でしたが, それとは違うことが書いてあるのですか.

> (b) The set N is complete
> (c) The set N is a σ-algebra.
> (d) If X=R^d and ν_* is the exterior Lebesgue measure,then N is the
> set of Lebesgue measurable sets.
> (e) If X=R^d and ν_* is the exterior Lebesgue measure, then N is the
> smalletst σ-algebra that contains the open sets.
> 
> という問題についてです。
> 
> (a)については
> ν_*(X)=0なら2^Xの元全てがν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for every A⊂X.
> を満たす。
> ν*(X)>0ならA=φの時,0=ν_*(φ)=ν_*(E∩φ)+ν_*(E∩X)=ν_*(E)なので,
> μ*(E)=0…①.
> しかし,A=Xなら,0<ν_*(X)=ν_*(E∩X)+ν_*(E∩φ)=ν_*(E)となり,①に矛盾。
> 従って, {E;for∀A⊂X,ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c)}=φとなってしまう。
> でも一応,σ集合体の定義は満たすので

空集合は σ 集合体とは言いません. 第一それは Caratheodory 
 measurable sets のなす σ 集合体とは関係のないものです.

> {E;for∀A⊂X,ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c)}はσ集合体。
> という事でTRUE。

もし違うことが書いてあるなら, FALSE です.

> (b)については
> ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for every A⊂Xを満たすならば
> F⊂Eに対しても
> ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c)≧ν_*(F∩A)+ν_*(F∩A^c) (∵単調性)
> となるのでFもν-可測なのでTRUE。

 complete の定義を分かっていますか?
そもそも Caratheodory measurable の定義が正しく
使われていません.

> (c)については命題「Caratheodory可測集合全体はσ集合体をなす」からTRUE。

覚えていたということですね.

> (d)についても
> 命題「∀A⊂R^d,μ*(A)=μ*(A∩E)+μ*(A∩E^c) (但し,μ*は(Caratheodory)外測度)

ここは正しい.

> ⇔
> inf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T,TはR^dの通常の位相}=0 (但し,m*はLebesuge外測度)」
> よりTRUE。

「より」の部分が分かっているのかどうか判断できませんが,
言明は正しい.

> (e)についてはFALSEらしいのですがどうしてなのでしょうか?

 complete ですから Borel 集合でない零集合があり,
可測集合の全体は Borel 集合全体より本当に大きくなります.
差の存在を示すのには別に知識が必要です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp