Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!news.unit0.net!motzarella.org!feeder.motzarella.org!news.motzarella.org!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: f(x):=x^2+x+1∈Z_p[x]の時,Z_p/(f(x))の構造を決定せよは Date: Wed, 15 Apr 2009 20:21:27 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 51 Message-ID: <090415202127.M0111487@cs2.kit.ac.jp> References: <090413174403.M0309431@cs2.kit.ac.jp> <7d35adc0-480a-4a70-aa5b-7eac81e2687b@o30g2000vbc.googlegroups.com> <090414184157.M0220290@cs1.kit.ac.jp> <21a9576a-1c03-4bd3-86ac-7c067e7013c2@e21g2000yqb.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX1/e1sJHoJiwbszDxSc40pxe9XuY+zA+tMppGci9ByPmNlQ9Vrxuc6gwaWdCEhXoQglCa5cmcUrJ6pDAp/L/fkCX/Ix9MVZQraym9JH/T+zjfLbM7csnATaauoDrjY7njqLTlmCwM+25sg== X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Wed, 15 Apr 2009 11:21:28 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX19KPGQB5G10aD0Ml9dJk4oxHpmZZr9eVzQ= Cancel-Lock: sha1:D6R7D7t4E8h9FUe4wyWIuhHovHQ= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2688 工繊大の塚本です. In article <21a9576a-1c03-4bd3-86ac-7c067e7013c2@e21g2000yqb.googlegroups.com> kyokoyoshida123 writes: > In article <090414184157.M0220290@cs1.kit.ac.jp> > Tsukamoto Chiaki writes: > > p が 3 より大きい素数のときは, f(1) ≠ 0 ですから, > > p=2の時はx=1でもf(x)≠0,p=3の時はf(1)=3≡0,f(2)=4+2+1=7≠0. > p=5の時はf(1)=3≠0,f(2)=7≠0,f(3)=13≠0,f(4)=21≠0ですね。 > p>3なる素数なら必ず,f(x)≠0となる事はどうすれば分かるのでしょうか? そんなことは言っていません. p = 7 のときは f(2) = 0 だから, x^2 + x + 1 ≡ (x - 2)(x - 4) なのです. p が 3 より大きい素数なら, f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 ≠ 0. x - 1 は f(x) の因子にはなりません. > > いつ割り切れるか, を考えた後, > > x^{p-1}-1はx-1,x-a_1,x-a_2,…,x-a_{p-2}で割り切れますね。 そうではなくて, いつ, x^2 + x + 1 が x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 を割り切るか, を考えると, x^2 + x + 1 が可約か既約かが 分かるといっているのです. # p が 3 より大きな素数であれば, x^2 + x + 1 は既約で # あるか, b_1, b_2 ∈ Z_p＼{0, 1}, b_1 ≠ b_2 について, # x^2 + x + 1 = (x - b_1)(x - b_2) になるか, の # どちらかです. > > それぞれの場合に > > Z_p[x]/(x^2 + x + 1) がどうなるか, を考える > > ことになります. > > Z_p[x]/(x^2+x+1)={f(x)(x^2+x+1);f(x)∈Z_p[x]}ですよね。 > これからどのようにすればいいのでしょうか? x^2 + x + 1 が既約であれば, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) は Z_p の二次拡大体になります. α^2 + α + 1 = 0 を満たす 元 α を考えて, { u + v α | u, v ∈ Z_p } に 自然な和・積を入れたものが体になります. F_{p^2} とも書く体ですね. x^2 + x + 1 = (x - b_1)(x - b_2) (b_1, b_2 ∈ Z_p, b_1 ≠ b_2) となれば, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) 〜 Z_p (+) Z_p です. [g(x)] ∈ Z_p[x]/(x^2 + x + 1) に対して, (g(b_1), g(b_2)) ∈ Z_p (+) Z_p を対応させれば宜しい. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp