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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: f(x):=x^2+x+1∈Z_p[x]の時,Z_p/(f(x))の構造を決定せよは
Date: Mon, 13 Apr 2009 17:44:03 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 39
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References: <da097273-d58d-4678-9e3a-7837efa62554@a7g2000yqk.googlegroups.com>
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NNTP-Posting-Date: Mon, 13 Apr 2009 08:44:03 +0000 (UTC)
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2678

工繊大の塚本と申します.

In article <da097273-d58d-4678-9e3a-7837efa62554@a7g2000yqk.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (1) Let f(x):=x^2+x+1∈Q[x]. Show that Q[x]/(f) is a field and
> isomorphic(as a ring) to {a+bζ∈C;a,b∈Q,ζ=e^(2πi/3)=-1/2+√3i/2}
> 
> (2) Let now f(x):=x^2+x+1∈Z_p[x],where p is prime. Determine the
> structure of the ring Z_p[x]/(f) (analogously to (a)). Hint Use the
> fact that (Z_p＼{0},・) is cyclic.
> 
> という問題です。
> 
> (1)はQが体だからQ[x]は単項イデアル整域(∵某命題)で
> f(x)はQ上既約なので(f(x))は素イデアルで(f(x))は素イデアルだから
> (f(x))は極大イデアル(∵某命題)
> よってQ[x]/(f(x))は体(∵某命題)。
> ψ:Q[x]∋g(x)→g(ζ)∈Q[ζ]:={a+bζ∈C;a,b∈Q,ζ=e^(2πi/3)=-1/2+√3i/2}
> で定めればψは全射環準同型になり,
> f(x)はζの最小多項式
> (degf(x)≧1,ζがg(x)=0(但し,g(x)∈Q[x])の解ならζはf(x)の解でもある,
> f(x)はQ上既約多項式である)
> なのでKer(ψ)=(f(x))(∵某命題)。
> よって環準同型定理よりQ[x]/(f(x))〜Q[ζ](=ψ(Q[x]/(f(x)))
> と示せました。
> 
> (2)については
> Z_p/(f(x))の構造を決定せよは
> Z_p/(f(x))と同型なものを探せという事だと思いますが
> (Z_p＼{0},・)が巡回群になる事をどう使って探せばいいのでしょうか?

先ず, x^2 + x + 1 が既約かどうかを判定しましょう.

 p = 2 なら既約, p = 3 なら x^2 + x + 1 ≡ (x - 1)^2,
 p = 5 なら既約, p = 7 なら x^2 + x + 1 ≡ (x - 2)(x - 4),
 p = 11 から先はどうなるか, お考え下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp