Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!news.tornevall.net!motzarella.org!feeder.motzarella.org!news.motzarella.org!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: Koch曲線を調べていて幾つか質問があります Date: Sun, 12 Apr 2009 03:44:29 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 102 Message-ID: <090412034429.M0404690@cs2.kit.ac.jp> References: <0246bbd8-d9da-4c6e-9909-7b4febc2b554@a23g2000vbl.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX19eqXi6x6wOGIwbnQfJuEgKsnfMHfjPZd83XpAlmpdMhUQfwWhxZyUa3F1MFjLaKJeBdyznWeKnl43IZxAglUd6qsRB69YHNLIKLg1gtMX6n45JjkTQocoNQg8fOdGmgNQKE/ZSYxZj+A== X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Sat, 11 Apr 2009 18:44:30 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX198kWOeCHvO30YoPLs+ih+QOiOD09yyJ0g= Cancel-Lock: sha1:D5dMdWhc3VDy9l1YY1d+D3UfmIs= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2668 工繊大の塚本と申します. In article <0246bbd8-d9da-4c6e-9909-7b4febc2b554@a23g2000vbl.googlegroups.com> kyokoyoshida123 writes: > http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p337_006.jpg > http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p339_002.jpg > Koch曲線を調べていて幾つか質問があります。 > > 『単位区間K_0=[0,1]を考えよ,そしてそれはxy平面のx軸に横たわっている。 > その時,Figure3のような多辺形の経路K_1を考えよ, > そしてそれは長さ1/3の4本の線分と長さが等しい。 それは長さ 1/3 の長さの等しい 4 線分から構成されている. > 0≦t≦1をK_1(t)とすると,K_1のパラメータ表示は定速度を持つ。 t を 0 ≦ t ≦ 1 で動かして, K_1(t) を K_1 の定速度での 径数付けとする. > 言葉を変えるとtは0から1/4まで移動する。 > 点K_1(t)は最初(最左)の線分上を動く。 つまり, t が 0 から 1/4 まで動く時, 点 K_1(t) は第一の線分を動く. > tが1/4から1/2まで動くに連れて,点K_1(t)は2番目の線分上を動く,など。 t が 1/4 から 1/2 まで動く時, 点 K_2(t) は第二の線分を動く, など とする. > 特に,我々は0≦l≦4に於いてK_1(l/4)がK_1の5つの頂点に対応する事が分かる。 # この l は整数ですね. > 　構築の第二ステージでは我々は > 第一ステージでの各線分を多辺形経路の対応にすり替えて,前手順を繰り返す。 折れ線に置き換える操作を第一ステージでの各線分について繰り返す. > するとFigure3のようなK_2での多辺形を得る。 > それは長さ1/9=3^-2の線分16=4^2本を持つ。 > 我々は定速度を持つK_2のパラメータ表示K_2(t)(0≦t≦1)を選ぶ。 > 0≦l≦4^2に於いて,K_2(l/4^2)がK_2の全頂点を与える事と > K_1の頂点はK_2に 0≦l≦4に対してK_2(l/4)=K_1(l/4) > という具合に含まれる事を観察せよ。 > この手順を無限に繰り返すと, > 連続多辺形曲線列{K_j}(但し,K_jは長さ3^-jの4^j本の線分からなる)を得る。 > もし,K_j(t) (0≦t≦1)が定速度を持つK_jのパラメータ表示なら > その頂点はきっかり点K_j(l/4^j)上にある。そして, > 0≦l≦4^jに於いてj'≧jならK_j'(l/4^j)=K_j(l/4^j)である。 > 　j→∞の時のその極限で多辺形の線らK_jはvon Koch曲線に近づく。本当に, > 任意の0≦t≦1,j≧0に対して|K_{j+1}(t)-K_j(t)|≦3^-jとなる。』 > これは第jステージにはひとピースが3^-jになりますね。 だから |K_1(t) - K_0(t)| ≦ 1/3 は示しておかないと いけませんね. > 『K_J(t)=K_1(t)+Σ_{j=1}^{J-1}(K_{j+1}(t)-K_j(t))と書けるので > これの評価は級数 > K_1(t)+Σ_{j=1}^∞(K_{j+1}(t)-K_j(t)) > がK~のパラメータ表示である連続関数K~(t)に絶対一様収束する事を示す。』 > K~はKoch曲線の意味でしょうか? そうですね. > K_{j+1}(t)-K_j(t)は正だから K_j(t) は(2次元の)ベクトル値ですから, その差もベクトル値で 「正」というのは変ですね. > lim_{n→∞}Σ_{j=1}^n (K_{j+1}(t)-K_j(t))が一様収束する事を確認 > すればいいですね。 |K_{j+1}(t) - K_j(t)| ≦ 3^{-j} より, L < M とすれば, |K_M(t) - K_L(t)| = |Σ_{j=L}^{M-1} (K_{j+1}(t) - K_j(t))| ≦ Σ_{j=L}^{M-1} |K_{j+1}(t) - K_j(t)| ≦ Σ_{j=L}^{M-1} 3^{-j} = 3^{-L} (1 - 3^{- M + L})/(1 - 3^{-1}) ≦ 3^{-L}/(1 - 3^{-1}) ですから, > 一様収束の定義は「0<∀ε∈R,∃L∈N;(L 0<∀ε∈Rに対し,Lをどのように採ればいいのでしょうか? 3^{-L}/(1 - 3^{-1}) < ε となるように取れば良いです. > 『連続性に加え関数K~(t)はCantor-Lebesgue関数の時のように > Lipschitz条件を満足する。,』 > ええと,これも|K~(t_1)-K~(t_2)|≦M|t_1-t_2|なる0 Mとしてどんな値が採れますでしょうか? Theorem 2.7 の後に書いてある証明を見て, Cantor-Lebesgue function の時と比べると, 分かるのではないでしょうか. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp