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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: ∫_(R^d)|f(x)|dx=∫[0..∞]m(E_α)dα (但し,mはルベーグ測度)となる事示せ
Date: Wed, 28 Jan 2009 18:21:11 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 86
Message-ID: <090128182111.M0118331@cs2.kit.ac.jp>
References: <f13015ee-5718-4bae-9689-91624f902d1d@w1g2000prm.googlegroups.com> 
	<090120174300.M0103085@cs1.kit.ac.jp>
	<a05e1fd1-b3e1-42c6-be84-4b535bdcb619@r37g2000prr.googlegroups.com>
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Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp
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NNTP-Posting-Date: Wed, 28 Jan 2009 09:21:13 +0000 (UTC)
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2403

工繊大の塚本です.

# どうやら, 貴方の記事本体が utf-8 で書かれて, base64 encode
# されていた為か, nntp.motzarella.org には届かなかったようです.
# aioe.org で見つけました.

In article <a05e1fd1-b3e1-42c6-be84-4b535bdcb619@r37g2000prr.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090120174300.M0103085@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >    = lim_{n→∞} (Σ_{i=0}^{n 2^n - 1} i/2^n m(E_{i/2^n})
> >                   - Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{i/2^n})
> >                   + n m(E_n))
> 
> これは単なる変形ですね。
> 
> >    = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n}) …②
> > となります.
> 
> これの変形が分かりません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?

最初の和の i = 0 のところは項が 0 で, i = n 2^n のところは
最後の項が埋めますので,

  lim_{n→∞} (Σ_{i=0}^{n 2^n - 1} i/2^n m(E_{i/2^n})
               - Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{i/2^n})
               + n m(E_n))
  = lim_{n→∞} (Σ_{i=1}^{n 2^n} i/2^n m(E_{i/2^n})
               - Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{i/2^n}))
  = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - (i-1))/2^n m(E_{i/2^n})
  = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n})

となります.

> > 一方, m(E_α) は α の単調減少関数ですから,
> 
> {x∈E;|f(x)|>α}はαに伴って小さくなっていきますよね。
> 
> >  可測であり,
> 
> これは∀r∈R,{x∈E;m(E_α)>r}∈Σ (但し,Σはルベーグ集合体)
> という意味ですよね。

違います. ∀r ∈ R, { α ∈ [0, ∞) | m(E_α) > r } ∈ Σ
(但し, Σ はルベーグ集合体), です.

> どうしてルベーグ可測だと分かるのでしょうか?

 { α ∈ [0, ∞) | m(E_α) > r } は区間ですから.
(端が入るかどうかは場合によります.)

> > さて, もし
> >   ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
> > であれば, m(E_α) ≧ g(α) となる非負可測単関数 g で
> >   ∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
> >  となるものがあります.
> 
> これはどうしてあると分かるのでしょうか?

ルベーグ積分の定義から ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα
 = sup { ∫_{[0, ∞)} g(α) dα | g: 非負可測単関数, g(α) ≦ m(E_α) }
です.
 
> >  互いに交わらない可測集合 A_k と
> >  m_k > 0 について,
> >   g = Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}
> 
> この時,∀α>0に対してm(E_α)=m({x∈R^d;|f(x)|>α})、
> g(α)=Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}(α) (但し,i∈{1,2,…,k},α∈A_i)
> =m_iとなりますよね。どうしてm(E_α)≧m_iと分かるのでしょうか?

 g は m(E_α) ≧ g(α) となるものを取っています.
そうなっていないといけません.

> >  s_k = sup A_k < ∞ です. s_k = max A_k ならば
> 
> すいません。supA_k<∞とはどういう意味でしょうか?
> A_kは集合ですよね。

 R の部分集合です. 従って, その上限が決まります.
 A_k の点 α では m(E_α) ≧ m_k > 0 ですから,
 lim_{α→∞} m(E_α) = 0 より, sup A_k = ∞
にはなりません.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp