Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!newsfeed00.sul.t-online.de!newsfeed01.sul.t-online.de!t-online.de!87.106.137.111.MISMATCH!feeder1.news.weretis.net!newsfeeder.dynfx.net!weretis.net!news.motzarella.org!motzarella.org!news.motzarella.org!chiaki From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する.fが線形写像である事を示せ Date: Thu, 25 Dec 2008 02:00:04 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 53 Message-ID: <081225020004.M0101367@cs2.kit.ac.jp> References: <2db06346-5567-4e8d-90f9-e829fdec5631@n33g2000pri.googlegroups.com> <081208001702.M0210470@cs2.kit.ac.jp> <081208173814.M0111141@cs2.kit.ac.jp> <2fa4d1d6-7bf2-4e3e-84e4-404a9a52079c@f40g2000pri.googlegroups.com> <081211020918.M0128855@cs1.kit.ac.jp> <73d5ed48-0ea9-40bd-a7ae-7bdacb65e169@v5g2000prm.googlegroups.com> <081212125305.M0314437@cs1.kit.ac.jp> <6a8462e0-5744-4e20-934b-0a6697be4720@q26g2000prq.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX1/xwWlJLeJyu782CeeO8DJbHCicI0/bj5RaLYxXC0m2q4n6R27K/Lyvc/boAwcp3KRm1OPkr9ssnfJhRvPNwKRzqUxsXTGd2E4KjJxMVd5+J2OlaN2KFy4bB7nV0dgyNg8= X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Wed, 24 Dec 2008 17:00:05 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX1/C/CIWo8/wP4X6a74gxG0XAOBQqiSBTrg= Cancel-Lock: sha1:IJiivmw1d8MtvdAg4kvckRflACQ= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2388 工繊大の塚本です. In article <6a8462e0-5744-4e20-934b-0a6697be4720@q26g2000prq.googlegroups.com> kyokoyoshida123 writes: > [命題1] U,V,WがF上の線形空間でψ:U×V→Wを双線形空間とすると, ^^^^写像 > 線形写像Ψ:span(U×V)→Wを∀(u,v)∈U×Vに対し, > ψ(u,v)=Ψ(u,v)と決めるとΨは一意的である(∵略)。 より正確に言えば, 双線形写像 ψ から, その式を満たす 線形写像 Ψ が, 一意的に定まる. > [命題2] 更にT=span{(u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v) (u_1, u_2 ∈ U, v > ∈ V) > (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2) (u ∈ U, v_1, v_2 ∈ V) > (αu, v) - α(u, v) (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V) > (u, αv) - α(u, v) (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V) } > に対し,T⊂KerΨならばf:U(×)V→Wを > ∀(u,v)∈U×Vに対し, > f(u(×)v)=Ψ(u,v)と決めるとfは線形で一意的である(∵略)。 より正確に言えば, 線形写像 Ψ: span(U×V)→W で T ⊂ KerΨ を満たすものに対して, 線形写像 f: U(×)V→W を, 任意の a ∈ span(U×V) に対して, f([a]) = Ψ(a) によって 定めることができる. 更に, Ψ が命題1の双線形写像 ψ から 得られるものであれば, f は U(×)V→W なる線形写像の中で f(u(×)u) ( = Ψ((u, v)) ) = ψ(u, v) を満たす唯一つの ものである. > 以上を踏まえた上で > 今,ψ:(V(+)V)×V^*→Fを > (V(+)V)×V^*∋∀(v_1+v_2,g)→ψ(v_1+v_2,g)=g(v_1)+g(v_2)と定義すると > ψは双線形写像をなし(∵略), > 線形写像Ψ:span((V(+)V)×V^*)→Fを > (V(+)V)×V^*∋∀(v_1+v_2,g)に対しては > Ψ(v_1+v_2,g)=ψ(v_1+v_2,g)と決めると, > Ψは一意的であり(∵命題1), > 更にT=span{(u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v) (u_1, u_2 ,v∈V) > (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2) (u , v_1, v_2 ∈ V) > (αu, v) - α(u, v) (α ∈ F, u,v ∈V) > (u, αv) - α(u, v) (α ∈ F, u,v∈V) } > ⊂KerΨなので(∵証明済み), > f:(V(+)V)(×)V^*→Fを∀(v_1+v_2,g)∈(V(+)V)×V^*に対し, > f((v_1+v_2)(×)g)=Ψ(v_1+v_2,g)と決めるとfは線形で一意的である。 > (∵命題2) > 従って,題意のfは線形写像である。 > > で宜しいでしょうか? そういうことで宜しいかと存じます. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp