工繊大の塚本と申します.

In article <26950ba0-1a3b-4b50-a0fe-46bd06e7123f@e1g2000pra.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [Q] For two matrices  X,Y∈C^(n×n),define [X,Y]=XY-YX. Let L_X denote

元は C^(n×n) の代わりに Mat_n(C) となっていますね.
まあ, 同じですが.

> the map such that L_X(Y)=[X,Y]. One calles L_X the bracket (or regular
> or Lie)a action of X.
> (a) Show that for each X, the map L_X:Y→[X,Y] is a linear map,
> satisfying the Leibniz rule for derivation ,that is [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]
> +[Y,[X,Z]].
> (b) Let D be the vector space of diagonal matrices. For each H∈D,show
> that E_ij is an eigenvector  of L_H,with eigenvalue α_ij(H)=h_i-h_j(if
> h_1,h_2,…,h_n are the diagonal components of H)the diagonal components
> of H). Show that α_ij:D→C is linaer. It is called an eigencharacter of
> the bracket action.
> (c) For two linear maps A,B of a vector space V into itself,define
> [A,B]=AB-BA.
> Show that L_[X,Y]=[L_X,L_Y].
> 
> という問題です。 Cは複素数体でX,Yはn×nの複素行列です。
> E_jiは固有ベクトルというだけの上記のような説明しかありませんでした。

 E_ij はそれ以前に説明はなかったですか?

上の問題のようなことが成り立つのは E_ij が i行 j列の成分だけが 1 で
残りの成分が全て 0 となる行列を表しているからです. n = 3 なら,

  E_11 = [ 1 0 0 ]  E_12 = [ 0 1 0 ]  E_13 = [ 0 0 1 ]
         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]
         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]

  E_21 = [ 0 0 0 ]  E_22 = [ 0 0 0 ]  E_23 = [ 0 0 0 ]
         [ 1 0 0 ]         [ 0 1 0 ]         [ 0 0 1 ]
         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]

  E_31 = [ 0 0 0 ]  E_32 = [ 0 0 0 ]  E_33 = [ 0 0 0 ]
         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]
         [ 1 0 0 ]         [ 0 1 0 ]         [ 0 0 1 ]

というわけです.

> ((a)の証)
> まずL_Xが線形写像である事を示す。
> ∀Y,Z∈C^(n×n)を採ると,L_X(Y+Z)=X(Y+Z)-(Y+Z)X=XY+XZ-YX-ZX=XY-YX+XZ-ZX=L_X(Y)
> +L_X(Z).
> ∀c∈Cを採るとL_X(cY)=X(cY)-(cY)X=c(XY-YX)=cL_X(Y).
> ∴ L_Xは線形写像。
> 次にLeibniz ruleを満たしている事を示す。
> (左辺)=X[Y,Z]-[Y,Z]X=X(YZ-ZY)-(YZ-YZ)X=XYZ-XZY-YZX+ZYX.
> そして
> (右辺)=[X,Y]Z-Z[X,Y]+Y[X,Z]-[X,Z]Y=(XY-YX)Z-Z(XY-YX)+Y(XZ-ZX)-(XZ-ZX)
> Y=XYZ-YXZ-ZXY+ZYX+YXZ-YZX-XZY+ZXY
> =XYZ+ZYX-YZX-XZY.
> ∴ [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]は成立.

良いですね.

> ((b)の証)

 E_ij が上のような行列であることを用いて,
もう一度お考え下さい.
 
> ((c)の証)
> A,BはV→Vの線形写像だと思います。

そう, V の線形変換ですね. 線形変換についての
交換子積というのを定義してあるわけです.

> それで等式L_[X,Y]=[L_X,L_Y]が成り立つ事を証明します。

 L_X というのは Mat_n(C) の線形変換ですね.

> ∀Z∈C^(n×n)に対し,
> L_[X,Y](Z)=[X,Y]Z-Z[X,Y]=(XY-YX)Z-Z(XY-YX)=XYZ-YXZ-ZXY-ZYX.
> [L_X,L_Y](Z)=(L_XL_Y-L_YL_X)(Z)

ここまではいいですが,

> =L_X(Z)L_Y(Z)-L_Y(Z)L_X(Z)

ここが違います. 線形変換の積は写像の合成ですから,

  (L_X L_Y - L_Y L_X)(Z)
  = L_X(L_Y(Z)) - L_Y(L_X(Z))

です. これでお確かめ下さい.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp