Re: (Ω,Σ,μ)がσ有限測度空間で1≦p<∞でf_kはfにL^p収束で∀x∈Ω,lim[k→∞]g_k(x)=g(x)で∀k,‖g_k‖_∞≦Mならf_kg_kはfgにL^p収束する事を示せ

工繊大の塚本と申します.

In article <665dcac0-4cb3-4892-92d3-7b280b11004f@w24g2000prd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> μがσfinite measureの定義は
> 「Σが有限加法性族でμ(B)⊂[0,∞]でΣ∋b_1,b_2,…が互いに素なら
> μ(∪[i=1..∞]b_i)=Σ[i=1..∞]b_i)」
> です。
> 
> Let (Ω,Σ,μ) be any σ-finite measure space and suppose 1≦p<∞.
> If f_k→f in L^p and ∀x∈Ω,lim[k→∞]g_k(x)=g(x),where ∀k,‖g_k‖_∞≦M,
> prove f_kg_k→fg in L^p.
> 
> という問題です。書き下すと
> lim[k→∞]‖f_k-f‖_p=0(つまりlim[k→∞](∫_Ω|f_k(x)-f(x)|^p)^(1/p)=0)で
> ∀x∈Ωに対し,lim[k→∞]g_k(x)=g(x)
> そして ∀k∈Nに対し,inf{K∈R;|g_k(x)|≦K a.e.}≦M.

このとき, g についても |g(x)| ≦ M ですね.

> ならば lim[k→∞]‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p=0
> (つまりlim[k→∞](∫_Ω(f_k(x)-f(x))^p)^(1/p)=0)

「つまり」の後の式で g_k, g が抜けています.

  lim_{k→∞} (∫_Ω |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|^p dμ)^{1/p} = 0

というわけですね.

> となる事を示せ。

  |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|
  = |f_k(x) g_k(x) - f(x) g_k(x) + f(x) g_k(x) - f(x) g(x)|
  ≦ |(f_k(x) - f(x)) g_k(x)| + |f(x)(g_k(x) - g(x))|
     = |f_k(x) - f(x)| |g_k(x)| + |f(x)||g_k(x) - g(x)|
     ≦ 2 max{|f_k(x) - f(x)| |g_k(x)|, |f(x)||g_k(x) - g(x)|}

ですから,

  |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|^p
  ≦ (2 max{|f_k(x) - f(x)||g_k(x)|,  |f(x)||g_k(x) - g(x)|})^p
  ≦ 2^p(|f_k(x) - f(x)|^p |g_k(x)|^p + |f(x)|^p |g_k(x) - g(x)|^p)

が成立します. 最後が可積分で, その積分が k→∞ で
 0 に収束することは容易に示せるでしょう.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp