工繊大の塚本です.

In article <dfb90eee-ffea-4d69-a507-47b374e0ffea@b38g2000prf.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> =μ({x∈R;(x≦-√εまたは√ε≦x)且つ(x≠1,x≠3)})
> 
> でこれは測度0になるとは思えませんが…。

 μ = 5 δ_1 + δ_3 でしたから, μの台は {1, 3} という集合です.
この集合を含まない集合の測度, 例えば R ＼ {1, 3}
 = { x ∈ R ; x ≠ 1, x ≠ 3 } の測度は 0 です.

  μ(R ＼ {1, 3}) = μ({ x ∈ R ; x ≠ 1, x ≠ 3 }) = 0

区間 [-2, 3) については μ([-2, 3)) = 5 とされていましたよね.
御納得いただけますでしょうか.

> lim[k→∞]μ({x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε})は

これは唯の数ですから,

> x=1やx=3の時なら確かに測度収束しますね。

関数のように「 x = 1 や x = 3 の時」というのは意味がありません.
 
> L^1コーシーである事は
> 0<∀ε∈R,E∈Σに対して∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ=∫_E |((1)^2 1_{{1}} + (3)^2
> 1_{{3}})(x)-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|dμ
> =∫_E |0|dμ=∫_E 0dμ=lim[n→∞]∫_E 0_n(x)dμ
> (但し,{0_n}は∀n∈Nに対し,0_n(x)=0となる0の定義関数列)
> =lim[n→∞]0・μ(E) (∵積分可能単関数列の積分の定義) =0
> なので (1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}は確かにL^1コーシー列。
> 
> 取り合えず,(1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}がf(x)=x^2の定義関数列なら
> ∫_R f(x)dμ=∫_R x^2dμ
> =lim[n→∞]∫_R ((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)dμ
>  (∵ ルベーグ積分の定義)
> =∫_R ((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)dμ
> =1・μ({1})+9・μ({3})+0・μ(R＼{1,3}) (∵可積な単関数の積分の定義)
> =1・0+9・0+0・∞
> =0+0+0 (∵0・∞=0?)
> =0

 μ({1}) = 5, μ({3}) = 1, μ(R ＼ {1, 3}) = 0 です.
これで計算できるでしょう.

> よってルベーグ積分値を求めてみます。
> 1_Qがg=1_Qの定義関数列なので
> ∫_R gdμ=∫_R 1_Qdμ=lim[n→∞]∫_R 1_Q(x)dμ(∵ルベーグ積分の定義)
> =1・μ(Q)+0・μ(R＼Q) (∵可積な単関数の積分の定義)
> =1・0+0・(μ(R)-μ(Q)) (∵測度の定義(可算加法性))
> =0+0・(∞-0)
> =0+0・∞
> =0+0 (∵0・∞=0?)

こちらも μ = 5 δ_1 + δ_3 であることを忘れられて
いるようです. お考え直し下さい.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp