Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!newsfeed00.sul.t-online.de!t-online.de!newsfeed.freenet.de!news.k-dsl.de!news.eternal-september.org!news.motzarella.org!motzarella.org!chiaki From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: 測度空間(R,B(R),μ)でf(x)=x^2の時,∫_R fdμを計算せよ Date: Sun, 2 Nov 2008 17:56:07 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 93 Message-ID: <081102175607.M0226996@cs2.kit.ac.jp> References: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX1+yI0iLrt3G8yk3IDsiNdUyxdyyGpE7HAVkmk5v2LJZn0RQGhnpWO4mzJA7rrLuWHXzt79CMa9Asbt4sCAGAglwwLqGilSErpECPUyNYsFTessc97wggRvw6ClmjvUGfuU= X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Sun, 2 Nov 2008 08:56:08 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX1+LX6j0V3nki4gyf6gC9/FcdY9JO9JGd98= Cancel-Lock: sha1:PIUp4M8sdGogifN/479zeFEOKfg= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2312 工繊大の塚本と申します. In article kyokoyoshida123 writes: > 再度の質問をお許しください。 > 測度論で難儀しています。 > > 測度空間(R,B(R),μ)を考えよ(B(R)はボレル集合体)。 > (但しμ=5δ_1+δ_3, > δ_x:B(R)→{0,1}で > B(R)∋Eに対し,δ_x(E)=0(x∈Eでない時),1(x∈Eの時)) > > (1) μは有限測度? > (2) μ([-2,3))を計算せよ。 > (3) もしf(x)=x^2なら∫_R fdμ (但し,Rは実数体)を計算せよ。 > (4) もしg=1_Q (但し1_Qは特性関数,x∈Qなら1,x∈Qでないなら0)の時, > ∫_R gdμを計算せよ。 > > (1)の解 > 有限測度の定義はμ(R)<∞ですからμ(R)=(5δ_1+δ_3)(R) > =5δ_1(R)+δ_3(R)=5・1+1(∵1,3∈Rなのでδ_xの定義) <∞ > よってμは有限測度。 > > (2)の解 > μ([-2,3))=(5δ_1+δ_3)([-2,3)) > =5δ_1([-2,3))+δ_3([-2,3)) > =5・1+0 (∵1∈[-2,3),3は[-2,3)に含まれない) > =5 ここまでは良いですね. > (3)の解 > ルベーグ積分の定義から > ∫_R x^2dμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ > {f_k}はx^2の定義関数列(detemining sequence) > と書けるだと思います。 > {f_k}はどのようにして見つければいいのでしょうか? k に関わらず, f_k = (1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}} とすれば十分です. 1_{{1}} は {1} という集合の定義関数, 1_{{3}} は {3} という集合の定義関数です. ε > 0 について { x ∈ R ; |f(x) - f_k(x)| ≧ ε } ⊂ R ＼ {1, 3} の 測度は 0 です. 従って, f_k は f に測度収束します. > (4)の解 > ルベーグ積分の定義から > ∫_R 1_Qdμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ > {f_k}は1_Qの定義関数列(detemining sequence) > と書けるだと思います。 > {f_k}はどのようにして見つければいいのでしょうか? k に関わらず, f_k = g = 1_Q とすれば十分です. > 因みに, > > 測度収束の定義は > 「測度空間(Ω,Σ,μ)において, E∈Σで f_n, f は > Σ可測関数でf_nはa.eで有限値をとる。 > 0<∀ε∈R, lim[n→∞]μ({x∈E;| f_n(x)-f(x)|≧ε})=0の時, > {f_n}はfに測度収束すると言う」 > > 単関数の積分の定義は > 「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし, f = Σ[i=1..n] a_i 1_{E_i} > (但し,a_i∈R,E_1,E_2,…,E_nは互いに素, 1_E_iは特性関数, > つまり 1_E_i(x) = 1 (x∈E_iの時), 0 (x∈E_iでない時)) > という形に表される時, ∫_E f(x) dμ = Σ[i=1..n] a_i μ(E_i) で定義する」 > > L^1コーシー列の定義は > 「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし, > ‖‖を‖f‖:=∫_E |f(x)| dμ (ただしfは単関数)と定義すると > この‖‖はノルムをなす。 > このノルム‖‖をL^1ノルムと言う。 > 積分可能な単関数列{f_n}が 0<∀ε∈R,∃M∈N;M {f_n}をL^1コーシー列という」 > > 定義関数列{f_n}の定義は > 「{f_k}が積分可能なL^1コーシー単関数列,でf_nはfに測度収束)する時, > {f_k}をfの定義関数列という」 この定義だと ‖f_n‖ はコーシー列になりますから, その極限は存在することになりますね. 定義関数列が 存在すれば f は可積分だとして, f の積分を ‖f_n‖ の 極限で定義するわけですか. 了解致しました. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp