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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: 連結空間の族の直積空間が連結であること
Date: Sun, 12 Oct 2008 19:53:13 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 80
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NNTP-Posting-Date: Sun, 12 Oct 2008 10:53:14 +0000 (UTC)
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工繊大の塚本です.

In article <fc428c5c-37a5-4630-a612-90d2212d3a79@b31g2000prb.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> X_1×X_2の位相T_xxとして有限個の直積空間だから箱位相
> (T,SをそれぞれX_1,X_2の位相とする)
> T_xx:={∪[t×s⊂T'×S']t×s;T'×S'⊂T×S}がとれますよね。

 T_xx の元は開基 t×s らの和集合であることが重要です.
正確には和を取る範囲が T'×S' の形とは限りませんから,

  T_xx = { ∪_{(t, s)∈H} t×s ; H ⊂ T×S }

です.

> もし,X_1×X_2が非連結だとすると,φ≠∃A,B∈T_xx…①;X_1×X_2=A∪B,A∩B=φ…②.
> A=∪[t∈T']t×∪[s∈S']s,B=∪[t∈T"]t×∪[s∈S"]s (但しT',T"⊂T, S',S"⊂S)

ですから, A = ∪ t×s なので, A = (何か)×(何か) の形で
あるとは限りません. B も同様です.

> でX_1=∪[t∈T']t∪∪[t∈T"]t, X_2=∪[s∈S']s∪∪[s∈S"]sとなっていて②から
> ∪[t∈T']t∩∪[t∈T"]t=φでなければならない。
> しかも①から∪[t∈T']t≠φ,∪[t∈T"]t≠φ
> したがってX_1は非連結となってしまい矛盾。
> 
> でよろしいでしょうか?

これでは証明になりません.

 X_1, X_2 が連結のとき, X_1×X_2 の開集合 A, B で
 X_1×X_2 = A ∪ B, A ∩ B = φ となるものがあった
としましょう.

 x ∈ X_1 に対して, A_x = { y ∈ X_2 ; (x, y) ∈ A }
 B_x = { y ∈ X_2 ; (x, y) ∈ B } とします.

 A_x, B_x は X_2 の開集合になります. # 証明して見て下さい.

 X_2 = A_x ∪ B_x, A_x ∩ B_x = φ ですから, X_2 の連結性より,
 A_x = φ (B_x = X_2) または B_x = φ (A_x = X_2) のどちらか
一方だけが成立します.

 A_1 = { x ∈ X_1 ; A_x = X_2 }, B_1 = { x ∈ X_1 ; B_x = X_2 }
とすると, A = A_1×X_2, B = B_1×X_2 であることが分かります.
 A_1, B_1 は X_1 の開集合で, X_1 = A_1 ∪ B_1, A_1 ∩ B_1 = φ
となります. X_1 の連結性より, A_1 = φ (A = φ) または
 B_1 = φ (B = φ) のどちらかが成り立ちます.

これが示すべきことでした.

数学的帰納法で, 有限個の連結位相空間 X_1, X_2, ... , X_n
の直積位相空間 Π_{i=1}^n X_i も連結であることが
分かります.
 
> (1)についてですが
> α∈J＼K に関しては、1 点からなる集合(その位相は{φ,{a_α}})の直積となり、
> α∈J＼K なる α に対しては
> X_α=A_α∪B_αなる開集合A_α,B_αとして
> A_α =B_α= {a_α}が採れ,
> X_K':=Π[α∈J＼K]X_αは連結。
> α∈Kにおいては X_α の有限直積となっていて
> 各α∈KでX_αは連結なので提起頂いた命題より
> X_K":=Π[α∈K]X_αも連結。
> よってX_K=X_K'×X_K"は連結。
> となったのですがこれではダメでしょうか?

 X_K は Π_{i=1}^n X_{α_i} と同相ですから, それで良い
わけです.

> ここがわかりません。BはYの開集合ならCl(Y)∩B=φでなければなりませんが
> BはXでの開集合ですよね。なのでCl(Y)∩B=φと簡単に言えないのではないでしょうか?

 Cl(Y) は X の閉集合で Y を含むもののうち最小のものです.
 Y ∩ B = φ とは B の X における補集合 B^c について
 Y ⊂ B^c となることですが, B^c は閉集合ですから
 Cl(Y) ⊂ B^c となります. つまり Cl(Y) ∩ B = φ です.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp