工繊大の塚本と申します.

In article <1b516893-9f9a-4205-85c5-782f855d21d9@w24g2000prd.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> Let I=[0,1]. The dictionary order on I×I is just the restriction to
> I×I of the dictionary order on the plane R×R.However,the dictionar
> order topology on I×I is not the same as the subspae topology on I×I
> obtained from the dictionary order topology on R×R! For example, the
> set {1/2}×(1/2,1] is open in I×I in the subspace toplogy,but not in
> the order topology.
> Then set I×I in the dictionary order topology will be called the
> ordered square,and denoted by I^2_o.
> [Q] Determine the closures of the following subsets of the ordered
> sqare:
> A={(1/n)×0;n∈Z_+}
> B={(1-1/n)×1/2;n∈Z_+}
> C={x×0;0<x<1}
> D={x×1/2;0<x<1}
> E={1/2×y;0<y<1}
> 
> 「I=[0,1]とせよ。I×I上の辞書式順序とはまさに
> R×R平面での辞書式順序のI×Iへの制限である。
> しかしながらI×I上の辞書式順序位相は
> R×R上の辞書式順序位相からのI×I上の部分位相と同じではない! 
> 例えば集合{1/2}×(1/2,1]は部分位相内のI×I内でopenであるが
> 順序位相ではない。

「順序位相では open でない」.

> それで辞書式順序位相内での集合I×Iはordered squareと呼ばれ,
> I^2_oと書かれるだろう

「辞書式順序位相を備えた集合I×Iを ordered square と呼び,
  I^2_o と書こう」.

> [Q] 次のordered squareの部分集合の閉包を求めよ」
> 
> という問題です。これ以外に辞書式順序位相の説明は記載されてませんでした。

 order topology の説明はありませんでしたか.

> 順序位相の定義は「(A,≦')を全順序集合とする。a∈Aに対して,
> {U∈2^A;∃I∈2^A such thata∈I⊂U}がAの位相となる時,
> {U∈2^A;∃I∈2^A such thata∈I⊂U}をA上の順序位相という」
> 
> です。

何かが抜けているようですね. この I は上の [0, 1] ではなくて,
全順序集合の開区間(open interval)のこととしなければなりません.
ウィキペディアの「順序集合」の項の「順序位相」の節を見ると
お分かりになると思います.

  <http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88> 

英語で良ければ

  <http://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology>

に order topology の説明があります.

> それとA={(1/n)×0;n∈Z_+}の「×」は直積の意味なのでしょうか?

記号の乱用ですがそうでしょう. 正確には集合の直積というのは
元の対の集合のことで, ここでは元の対の方が求められているの
ですから,

  A = { (1/n, 0) ; n ∈ Z_+ }

と書かれるべきところです. B も

  B = { (1-1/n, 1/2) ; n ∈ Z_+ }

ですね. C, D, E は

  C = (0, 1)×{0}
  D = (0, 1)×{1/2}
  E = {1/2}×(0, 1)

と書くのが良いと思います.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp