工繊大の塚本と申します.

In article <ecqq0l$id4$1@caraway.media.kyoto-u.ac.jp>
"MK278" <MK278@hotmail.com> writes:
> 宜しくお願い致します。
> ロピタルの定理の3パターンを要約してみたのですが
> 以下で正しいでしょうか?

おかしなところはないようですが, パターンの要約の目的は
何でしょうか. 全ての場合を尽くすということであれば,
 x→-∞ や x→a-0 の場合も必要でしょうし, 証明の道筋から
言えば, x→a+0 で 0/0 の不定形の場合が一番単純で, ∞/∞
の不定形の場合は少し別になりますし, x→+∞ の場合を
 x→a+0 の場合に帰着するかどうかはともかく, a が区間の
内点のときの x→a の場合は(特に ∞/∞ の不定形の場合は), 
 x→a の極限が存在するのは x→a+0 の極限と x→a-0 の
極限が共に存在して一致する場合であるという事実を使う
ことになるでしょうし, そうすると記述の順番も考慮する
ことになりましょうか.

> 関数f,gにおいて
> (i) (a,+∞) ⊂ Dom f
> (ii) f,gが (a,+∞) で微分可能
> (iii) ∀x∈ (a,+∞) に対してg(x)g'(x)≠0
> (iv) lim(x→+∞,f(x))=lim(x→+∞,g(x))=0 or ±∞

少し正確には,

  lim(x→+∞,f(x))=lim(x→+∞,g(x))=0
  or
  lim(x→+∞,f(x))=±∞ かつ lim(x→+∞,g(x))=±∞ (複号任意)

ということになりましょうか.

> (v) lim(x→+∞,f'(x)/g'(x))が収束
> なる実数aが存在する時、
> lim(x→+∞,f(x)/g(x))=lim(x→+∞,f'(x)/g'(x))
  (以下略)
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp