工繊大の塚本と申します.

In article <42949F42.8030701@d5.dion.ne.jp>
柳楽盛男 <nagira@d5.dion.ne.jp> writes:
> RamanujanのΔにHecke作用素T(m)を作用させた
> (T(m)Δ)(z) = m^(-11)Σ_(ad = m) d^(-12) Σ_(b=0?(d-1)) Δ((az + b)/d)
> が
> (T(m)Δ)(-1/z) = z^12(T(m)Δ)(z)
> を満たすか興味を持っています。
> mが素数であるときT(m)はMordell作用素ですから成立しますし
> 合成数の場合として4,6についても確認できました。

 Hecke 作用素 T_k(m) を
                                    d-1
  (T_k(m) f)(z) = m^{k-1} Σ d^{-k} Σ f((az + b)/d)
                          ad=m      b=0
で定義すると, 重さ k の正則保型形式の空間に作用し,
又, 重さ k の正則尖点形式の空間にも作用することが
知られていて, Ramanujan のΔ
            ∞
  Δ(z) = q Π (1 - q^n)^24   (q = exp(2πiz))
            n=1
は重さ 12 の正則尖点形式の空間(一次元)の基底を成して
いさえするので, 当然満たす筈です.

> b, d∈Zに対して X_<b,d>, Y_<b,d> を
> b ≠ 0のとき、bX+dY = (b,d)； X,Y∈Z、1 ≦ X ≦ d/(b,d)-1の解、
> b = 0のとき、X_<0,d> = 0、Y_<0,d> = 1
> とします。ここで(b,d)はbとdの最小公倍数で (0,d) = dとします。

 (b, d) は b と d の「最大公約数」ですね. b' = b/(b, d),
 d' = d/(b, d) とすると (b', d') = 1 で, b'X + d'Y = 1
となる X, Y を選んでおくと,

  (bz - a)/(dz)
  = (b'(b, d)z - b'aX - d'aY)/(d'(b, d)z)
  = (b'(((b, d)/(ad'))z - X/d') - Y)/(d'(((b, d)/(ad'))z - X/d') + X)
  = (b'z' - Y)/(d'z' + X)

となる, 但し, z' = ((b, d)/(ad'))z - X/d', 又,
 d'z' + X = ((b, d)/a)z になる.

> [b/(b,d)  -Y_<b,d>]
> [d/(b,d)   X_<b,d>]∈SL2(Z)
> を利用して
> (T(m) Δ)(-1/z)
> = z^12 m^(-11)Σ_(ad = m) (ad/(b,d))^(-12)
>     Σ_(b=0?(d-1)) Δ(((b,d)2 z - a (b,d) X_<b,d>)/ad)
> と変形できます。

  (T(m)Δ)(-1/z)
                    d-1
  = m^11 Σ d^{-12} Σ Δ((a(-1/z) + b)/d)
         ad=m       b=0
                    d-1
  = m^11 Σ d^{-12} Σ Δ((bz - a)/(dz))
         ad=m       b=0
                    d-1
  = m^11 Σ d^{-12} Σ Δ((b'z' - Y)/(d'z' + X))
         ad=m       b=0
                    d-1
  = m^11 Σ d^{-12} Σ (d'z' + X)^12 Δ(z')
         ad=m       b=0
                    d-1
  = m^11 Σ d^{-12} Σ (((b, d)/a)z)^12 Δ(((b, d)/ad')z - X/d')
         ad=m       b=0
 
  = z^12 m^11 Σ   a^{-12} Δ(dz/a)
              ad=m
                     d-1
    + z^12 m^11 Σ   Σ (ad/(b, d))^{-12} Δ(((b, d)z + a(d'- X))/(ad/(b, d)))
                ad=m b=1
 
  = z^12 m^11 Σ   a^{-12} Δ(dz/a)
              ad=m
                     d-1
    + z^12 m^11 Σ   Σ D^{-12} Δ((Az + a(d'- X))/D)
                ad=m b=1

となる, 但し, A = (b, d), D = ad/(b, d) = ad' で, AD = m.
一方,

  z^12 (T(m)Δ)(z)

  = z^12 m^11 Σ d^{-12} Δ(az/d)
              ad=m
                           d-1
    + z^12 m^11 Σ d^{-12} Σ Δ((az + b)/d)
                ad=m       b=1
です.

> 一方、
> (T(m)Δ)(z) = m^(-11)Σ_(ad = m) d^(-12) Σ_(b=0?(d-1)) Δ((az - b)/d)
> ともかけるので集合{(d, a/d, b/d)| 0≦b≦d-1,d|m} と
> {(ad/(b,d), (b,d)2/ad, a (b,d) X_<b,d>)/ad)| 0≦b≦d-1, d|m}
> が一致すれば証明終了です。
> 
> (b,d)がdの全ての約数を走るので ad/(b,d)は dの全ての約数を走り、dとad/(b,
> d)の範囲は同じです。2番目はm/dとm/{ad/(b,d)}なので対応します。
> 最後についてはb/dと a X_<b,d>/{ad/(b,d)}なので
> a X_<b,d>が0からad/(b,d) - 1の全てをとりうることが示せれば証明終了と
> 思いますがここで止まってしまいました。よろしくお願いします。

 A を fix した時, b (0 < b < d), d の, 或いは,
 b' (0 < b' < d'), d' の取り方は, d' を D の任意の
約数, b' を d' と互いに素と取る取り方だけある.
 b' が d' と互いに素で 0 < b' < d' となるように
動くとき, X も d' と互いに素で 0 < X < d' となる
ように動き, d' - X も d' と互いに素で 0 < d' - X < d'
となるように動く. その a = D/d' 倍は d' が D の
約数を動くとき, どのような数の全体になるか, ですが,
 B = a(d' - X) とすると, (B, D) = a, d' = D/(B, D),
 d' - X = B/(B, D) ですから, その数になる b', d' は
一意的で, 一方, 任意の 0 < B < D に対してそれを与える
 b', d' が存在しますから,
                 d-1
  z^12 m^11 Σ   Σ D^{-12} Δ((Az + a(d'- X))/D)
            ad=m b=1
                   D-1
  = z^12 m^11 Σ   Σ D^{-12} Δ((Az + B)/D)
              AD=m B=1
となることが分かります.
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塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp