工繊大の塚本と申します.

体積が合同・分解で保存されることと, 二倍に相似拡大した立体が
八倍の体積を持つことだけから, 任意の三角錐の体積は同じ底面を
持つ三角柱の体積の三分の一になることが示せます.

四面体OABCの体積が, OA, OB, OC から張られる平行六面体, 即ち,
OADB, OBEC, OCFA, CFGE, ADGF, BEGD の 6つの平行四辺形を面と
する(0ADB と CFGE, OBEC と ADGF, OCFA と BEGD が平行である)
立体の体積の 1/6 であることを示しましょう.

四面体OABCと四面体GEFDとは合同です. 

OA を A の側に二倍に伸ばして A' を取ります. つまり A' を A
が OA' の中点になるように取ります. 同様に B' を B が OB' の
中点になるように, C' を C が OC' の中点になるように取ります.
四面体OA'B'C'は四面体OABCを二倍に相似拡大した立体であり,
八倍の体積を持ちます.

ところで, 四面体OABC, 四面体AA'DF, 四面体BDB'E, 四面体CFEC'
は全て合同です. これらを四面体OA'B'C'から除いて出来る八面体
ABCFEDの体積は四面体OABCの体積の四倍です. この八面体に四面体
OABCと四面体GFEDとを合わせたものが平行六面体OABCFEDGですから,
平行六面体の体積は六倍です.

三角柱OABCFEと三角柱GEFDBAとは合同で, 合わせると平行六面体
OABCFEDGになりますから, 三角柱OABCFEの体積は四面体OABCの体積
の三倍です.

二つの立体を同じ倍率で相似拡大しても, 体積の比は変わらない
ことが, 直感的に理解できるものであるとするならば, これで
小学生にも説明が出来るのではないでしょうか.

# 模型を用意する必要はありそう.
-- 
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp