実数上で定義された実数値関数というのは畢竟実数から実数への
写像である. 実数から実数への写像というのは実数と実数の直積
集合の部分集合で, その二つの点は前者の値が等しいなら一致す
るという性質を持つものである. グラフが写像を定義する.

といった話は後から概念を整理してできたもので, 部分集合云々
の話も, 実数 x に対して対応する実数 y が(何かしら)一つ定ま
るということを形式化しているだけのことだ. x を独立変数と呼
び, y を従属変数と呼ぶ, y は x が変わればそれに従って変わる,
そのことを関数と呼ぶ, それが元々の考え方.

しかし, その関数を一つの数学的対象とし, 名前を付けて呼ぼう
とするなら, x とか y とか言っているだけでは足りない.

 x に従って定まる y の計算の仕方が「書ける」ものであれば,
それを書いておくだけで関数が定義されていると思える.

  y = x^2 + 2 x + 3

が関数であるというのはその意味においてである. 形式的に写像
の言葉にしたいなら, y を計算する「式」にまず名前を付ける.

  f(x) = x^2 + 2 x + 3

とおいて, 右辺の名前を "f" とする. この場合 "(x)" が付いて
いるのは x についての式であることの確認の為だ. この式の名前
を関数の名前に「流用」する. 本当は,

  φ: R → R          (TeX だと \to)

という実数から実数への写像を, φによって x に y が対応する,
つまり,

  φ: R∋x |→ y∈R   (TeX だと \mapsto)

とするとき

  y = f(x) (=x^2 + 2 x + 3)

であるものとする, という訳だが, それを

  f: R → R

とも書くことにする. 一々違う文字を使うのは面倒だし, φ と f
との照応を覚えておくのも大変だ. 逆に φ によって x に対応
する元のことを φ(x) とやはり書くので, これが「流用」である
という感覚はほとんどないものかも知れない. sin, cos, exp, と
いった名前の関数において, sin(x) というのが式か, 関数の値の
表示か, という質問に意味はあるだろうか. で, 再び,

  y = sin(x) は関数だ

ということにもなる. 更には

  sin(x) は関数だ

ということにもなる. それを

 sin: R → R

と書かないと関数ではない, といってみても始まらない. もっとも

  f(x) = x^2 + 2 x + 3 は関数だ

はまだしも, もっと省略して

  x^2 + 2 x + 3 は関数だ

とすることには心理的抵抗があるのだけれど.

ところで, x に対応する y を x 自身とする, つまり,

  y = x

とする場合に対応する関数をどう呼ぶべきか. 直接関数に名前を
付けるなら, それを「恒等写像(identity)」と呼んで, 記号として

  id: R → R  なり  ι: R → R

を採用し,

  id(x) = x   なり  ι(x) = x

と書いたりすることになる. 式に名前をつけて

  g(x) = x

とおいて, g で恒等写像をあらわすことにします, というのは,
 g のような一般的な文字で特別なものを表していることを常に
意識していないといけないので, 感心しない.

それなら「究極の表示法」, 文字 "g" の代わりに "x" それ自体
を使うのはどうか.

  x^2 + 2 x + 3 という関数

なる言い方に賛成しない人に対しても,

  x という関数

なる言い方は,

  x(x) = x

とおいて, 一番左に書いた "x" を用いて

x: R → R

を定義して「 x という関数」と呼んでいるのだ, と言えば, きっと納得
……しないか.

# x^2 + 2 x + 3 というのも式の名前にし,
# (x^2 + 2 x + 3)(x) = x^2 + 2 x + 3
# とおくことにする, というのはどうだろう.
# # ちゃんと括弧をつけると (x)(x) = x か, ワハハ訳分からん.
# # # 別の種類の括弧を使って <x>(x) = x とか
# # # <x^2 + 2 x + 3>(x) = x^2 + 2 x + 3 とか書くことに決める
# # # 厳密主義者もいるかも知れない.
# # # # で, 式の名前と関数の名前を記号で区別する超厳密主義者も.

さて元に戻って, x に対して y を対応する仕方が何かしら定まって
いる, という状態についての暗黙の了解があるなら,

y は関数です

ということにもなる. x に従属する, ということをはっきりさせる為に

y = y(x)

と書いたりするかも知れない. しかしこれは関数の名前が "y" である
というのとは違う. あくまでも関数は「無名」のままだ.

結局のところ何が言いたかったかというと, 「 y という関数」と
「 x という関数」では「省略」されている部分が違うということを
認識できないような人物を相手にするのもどうかと思うが, 相手に
するなら, "x = x" などという式を無防備に書いたりせずに, せめて
"x(x) = x" 位のことを工夫してはどうか, ということだ.
-- 
千