工繊大の塚本と申します.

In article <bd3di7$2gtj$1@news.jaipa.or.jp>
"Kenji Kobayashi" <kenji@nasuinfo.or.jp> writes:
> ベクトル空間 W が Lie 代数( Lie 環 ) であるとは
> 
>     X,Y ∈W にたいして [X,Y] ∈W 演算が定義でき、
> 
> 下の四つの関係式を満たすことであると、教科書は天下り的に示します。
> 
>     1 [X+Y,Z] = [X,Z] + [Y,Z]
>     2 [aX,Y] = a[X,Y]  a ∈R
>     3 [X,Y] = -[Y,X]
>     4 [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0
> 
> 1,2,3 式の意味は解る気がします。Lie 群、Lie 代数は時間に依存して変化す
> る事象の代数的な性質を抽象的に抜き出したものだと思います。

# そうかなあ.

> 1, 2 式は [X,Y] が bilinear な関係であることを意味していると思います。
> 3 式の反交換関係は時間に方向性があることを反映しているのだと思います。

# ふむ.
 
> でも 4 式の意味が解りません。この式はどんな物理的な意味を持つのでしょう
> か。幾何的にどんな意味を持つのでしょうか。Poison Bracket がこの 4 式満
> たすのは解りますが、この式を基本法則に持ってくる必然性が理解できません。

 A ∈ W に対して, 線形変換 ad(A): W → W を (ad(A))(X) = [A, X]
で定めます. Jacobi Identity は

  (ad(X))([Y, Z]) = [(ad(X))(Y), Z] + [Y, (ad(X))(Z)]

となることをお確かめ下さい. この式は

  (exp(t (ad(X))))([Y, Z]) = [(exp(t (ad(X))))(Y), (exp(t (ad(X))))(Z)]

の微分形です. (t ∈ R.) # ああ, 括弧が…….

要するに, X によって引き起こされる系の連続変形 exp(t (ad(X)))
は bracket 積 [ , ] を保つ, のであります. だから, 変形でなく,
自己同型になる. Jacobi Identity はそれを保証しています. それが
持つ物理的意義を申し述べる立場に私はありません.

因みに, ad(X) のような関係式を満たすものを Lie環の derivation
(微分)と呼びます.

> 逆に1,2,3式のみで4式を必要としない空間は意味がない代数空間なのでし
> ょうか。

意味が無くはないでしょうが, 構造に乏しいので, それだけでは余り
面白くはないでしょうね.
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塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@ipc.kit.ac.jp