工繊大の塚本と申します.

In article <bbluj2$as0$1@nntp.tiki.ne.jp>
"SET" <pcmusume@m11.alpha-net.ne.jp> writes:
> [1番目の数列の定義]
> 
> n項目　＝　max( prime(i)*(n+1-i) ) ,   1 <= i <= n.
> ここで、prime(i)とは　i 番目の素数。

> pnは、　１番目の素数からn番目までの素数の積とする
> 
> [2番目の数列の定義]
> 
> n項目　＝　m!はdnで割り切れる、そのような最小のm.
> ここで、dnはp1からpnまでの積

  d(n) = Π_{k=1}^n (Π_{h=1}^k prime(h))
       = Π_{i=1}^n prime(i)^{n+1-i},
  m(n) = min { m ; d(n) | m! }
       = min { m ; prime(i)^(n+1-i) | m!  (1≦i≦n) },

として定まるのが二番目の数列 {m(n)} ですね. (Πは積を
取る事を表す. "|" は左が右を割り切るの意.)

まず prime(i)*(n+1-i)≦m であれば prime(i)^(n+1-i) | m!
であることに注意しましょう.

 n≧2 としましょう. prime(i) は i について増加で, n+1-i
は i について減少ですから, 次の内どちらかが起こります.

  (A) ある k について prime(k) = n+1-k.
  (B) ある k について prime(k) < n+1-k, prime(k+1) > n-k.

(A)の場合, k≦i であれば, n+1-i≦prime(i) であり,
 prime(i)^(n+1-i) | m! となる為には prime(i)*(n+1-i)≦m
となることが必要十分になります.

(B)の場合, k+1≦i であれば, n+1-i < prime(i) であり, やはり,
 prime(i)^(n+1-i) | m! となる為には prime(i)*(n+1-i)≦m
となることが必要十分になります.

一方, i < k であれば,

  prime(i)*(n+1-i)
  ≦(prime(k) - (k-i))*((n+1-k) + (k-i))
    = prime(k)*(n+1-k) - ((n+1-k) - prime(k))*(k-i) - (k-i)^2
    < prime(k)*(n+1-k),

従って, prime(k)*(n+1-k)≦m のとき prime(i)*(n+1-i) < m
であり, 自動的に prime(i)^(n+1-i) | m! となります.

更に, (B)の場合, prime(k)≦n-k, n-k+1≦prime(k+1) ですから, 

  prime(k)*(n+1-k)≦(n-k)*prime(k+1) = prime(k+1)*(n+1-(k+1))

となっています.

(A)の場合,

  m(n) = min { m ; prime(i)^(n+1-i) | m!  (k≦i≦n) }
       = max { prime(i)*(n+1-i) ; k≦i≦n }
       = max { prime(i)*(n+1-i) ; 1≦i≦n },

(B)の場合,

  m(n) = min { m ; prime(i)^(n+1-i) | m!  (k+1≦i≦n) }
       = max { prime(i)*(n+1-i) ; k+1≦i≦n }
       = max { prime(i)*(n+1-i) ; 1≦i≦n },

となり, どちらでも [1番目の数列の定義] に一致します.
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塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@ipc.kit.ac.jp