佐藤(達)です。
以下の記述を参考に、もう一度考えてみて下さい。

(I) w=exp(z)の絶対値が1の等高線を二通りの方法で求めてみます。

(1) |exp(z)|=1 ⇔ Re(z)=0 ですから、等高線は虚軸です。

(2) |w|=1 という曲線を z=log(w) で写してみます。
曲線 |w|=1 は w=cos(t)+i*sin(t) と実数tでパラメータ表示されるので、
その log による像は  z=log{cos(t)+i*sin(t)}=t*i となります。
z=t*i (tは実数) の描く図形は虚軸であり、(1)の結果に一致します。

なお log の多値性を考慮すると log{cos(t)+i*sin(t)}=(t+2nπ)*i (nは整数)
となりますが、この場合も虚軸になります。


(II) w=exp(z)の偏角が0の等高線を二通りの方法で求めてみます。

(3) arg{exp(z)}=0 ⇔ ∃n(整数)[Im(z)=2nπ] 
ですから、等高線は実軸に平行な直線族になります。分岐の話を避けるため、
以下は Im(z)=0 に話を限定しましょう。この場合、等高線は実軸です。

(4) arg(w)=0 という曲線を z=log(w) で写してみます。
曲線 arg(w)=0 は実は半直線で、正の実数 t を用いて w=t (t>0) と
パラメータ表示されます。その log による像は、分岐を一つ選ぶと
z=log(t) (実数値)であり、tが t>0 を動くと z=log(t)は実数の全体を動きます。
この図形は実軸で、(3)の結果に一致します。

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佐藤(達)