Path: news.ccsf.jp!norn-news!news.heimat.gr.jp!news.unit0.net!eternal-september.org!feeder.eternal-september.org!mx05.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: "Kyoko Yoshida" Newsgroups: fj.sci.math Subject: =?iso-2022-jp?B?UmU6IFpGQxskQjh4TX03TyROJF8kKyRpJE48K0EzP3QkTkRqNUEbKEI=?= =?iso-2022-jp?B?GyRCJEskRCQkJEYbKEI=?= Date: Wed, 8 May 2013 12:53:20 -0400 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 58 Message-ID: References: <120823201937.M0716151@ras1.kit.ac.jp><121009204332.M0413709@ras2.kit.ac.jp><121019213028.M0130809@ras2.kit.ac.jp><121024173620.M0225737@ras1.kit.ac.jp><121029202814.M0204207@ras2.kit.ac.jp><121101180441.M0118946@ras1.kit.ac.jp><3993934news.pl@rananim.ie.u-ryukyu.ac.jp><121106173213.M0101078@ras2.kit.ac.jp><121203210030.M0127377@ras2.kit.ac.jp><130129214739.M0211587@ras2.kit.ac.jp> <130313190424.M0101347@ras2.kit.ac.jp> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed; charset="iso-2022-jp"; reply-type=original Content-Transfer-Encoding: 7bit Injection-Date: Wed, 8 May 2013 16:43:10 +0000 (UTC) Injection-Info: mx05.eternal-september.org; posting-host="4a28983015b964c92c9086503e77cf02"; logging-data="7389"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1+TE0nAnLajh7tcIOpIpwxssb1m5Rcrl5g=" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2900.6157 X-Newsreader: Microsoft Outlook Express 6.00.2900.5931 Cancel-Lock: sha1:PSyoieCUHBIFqbixlstdmwr/YSA= X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3844 ご回答誠に有難うございます。ちょっと混乱中でして,残りの返答に関しましては少しお時間を戴けましたら幸いでございます。 >> 以前に >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg >> と順序数(cardinal)を定義しました。 > 貴方が定義しようとしているのは cardinal で, 「基数」です. > 更に, そこに書かれているのは, 「定義」というより, > 一般連続体仮説を仮定したときに成り立つ「結果」です. そうでした。通常の集合・位相の書籍では'集合全体の集まり'を全単射に関する同値類に類別して,その代表元を濃度と呼ぶのでしたが'集合全体の集まり'という言葉を避けたかった為, ただ, 集合Aが与えられた時のAの濃度は http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg のDef233.1("Let X be a region"という部分は余計でした)にて, φ,{{1,2,…,n}∈2^N;n∈N},N,R,2^R,2^(2^R),… のいずれかに全単射を持つ時,Aの濃度を夫々 0,n,アレフ_0,アレフ_1,アレフ_2,… とすると定義したのですが,任意の集合Aは φ,{{1,2,…,n}∈2^N;n∈N},N,R,2^R,2^(2^R),… のどれとも全単射をなさないという事は有り得ないというのを保証する為 に,General continuum hypothesisを仮定してその結果の利用してしまったのでした。 >> そして 「数学のロジックと集合論」のp129を読んでます。 >> 順序数の定義が私のとだいぶ異なってるですが, >> 私のは間違っておりますでしょうか? > 「基数」のことを「順序数」と間違えているという意味で > 全く間違っています. すみません。大幅に作戦変更しました。いかなる(数学的)対象の集まりを真クラスと領域(公理的集合論「レモン著」p9,p10)とし,"領域⊃クラス⊃集合"という位置づけにしました。領域での"集まり"の数学的な厳密定義はなく,日常会話での"含む"という意に解釈する事にしました。そして, 集合的言語(Set theory language)は公理的集合論「田中尚夫著」p35、 classに於けるZFC公理系や無限クラス,有限クラス,真クラス空クラス,部分クラス,直積クラス,補クラス,積クラス,和クラス,冪クラス,宇宙,クラス関数(クラス写像)等々は, 現代集合論「竹内外史著」p158〜と,公理的集合論「レモン著」序論〜,公理的集合論「上江洲忠弘著」p27〜, 公理的集合論「倉田令二郎著」p13〜, を参考にいたしました。 帰納的クラスの定義は http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Inductive_Class 等も参考にいたしました。 集合の定義はシンプルな,公理的集合論「レモン著」p4の『集合とはそれ自身がクラスのメンバーとなっているようなクラスのことである』を使わせて戴きました。 ところでクラスの世界ではクラス全体のクラスや{x;xはクラス,x\not\in x}はカントールやラッセルのパラドクスをどのように回避してあるのでしょうか? 因みに公理的集合論「レモン著」p29にて全クラスを定義してありますがこれは公理的集合論「田中尚夫著」p52の宇宙の事だと思います,そして公理的集合論「田中尚夫著」p52定理2.8.9にて宇宙(全クラス)は真クラスだと述べてありますが,公理的集合論「レモン著」p30冒頭で全クラス(宇宙)は真クラスか否かは不明だと述べてあります。従って,公理的集合論「レモン著」(1969年)の出版後に全クラス(宇宙)が真クラスである事が証明されて公理的集合論「田中尚夫著」p52定理2.8.9が掲載されたという理解で大丈夫でしょうか? もしそうなら公理的集合論「レモン著」p30の『少なくともU∈Uの時,かつその時に限り,Uは集合であるといえる』という集合の定義は意味をなさないのですね(∵現在ではUは真クラスという事が判明しているので真クラスの定義から"U∈U"というケースはもはや有り得ない) 更に,公理的集合論「田中尚夫著」p52では真クラスの定義として『集合でないクラスを真クラスという』が載ってますが定理2.8.7ではVは全ての集合の集まりなので,『Vは全ての集合たちからなる真クラスである』と表記してあるのでここでの"クラス"は"真"という接頭語が省略されてるのかと思いきや,定理2.8.8や定理2.8.9では接頭語無しの"クラス"になったり接頭語付きの"真クラス"になったりしてます。したがって,クラス⇔集合,　真クラス⇔非集合　という構図になってる(つまり,真クラスと集合の2つの概念しか存在しない)のかと思いきや,p54では定義2.9.7ではクラスFの一意的対応を"クラス関数"と呼び,特にFが集合の時は"関数"と呼ぶと述べてあります。 以上より, "真クラス","真クラスでもない非集合なクラス","集合と呼ばれるクラス"の3種類があるのだと推測できます。 それで,中間に位置する"真クラスでもない非集合なクラス"の簡単な具体例を知りたいのですが一体どのようなものが挙げれますでしょうか? もし,真クラスと集合の2つの概念しか存在しないのであれば真クラスの事をクラスと呼び,クラスの事を集合と呼べばすっきりすると思うのですが,どの書籍でも真クラス,クラス,集合という3語が氾濫してる為に,あたかも公理的集合論には真クラス,クラス,集合という3つの概念が混在してるような錯覚に陥ります。 >> そしてp129の下の方に無限集合の定義が載ってますが >> そこでやはり自然数を用いていますよね。 >> 自然数を用いているという事は帰納的集合の概念を用いてるのでしょうから >> 「帰納的集合存在公理」を仮定せねばならないと感じたのでした。 > そういう導入の順序をこの本は選んでいます. 第二章で自然数と帰納的集合を定義してからp129にて有限集合を定義し,無限集合を定義してあるのですね。