ご回答誠に有難うございます。

幾つか公理が導入されてますがZFC公理系のみで超実数を定義する事は不可能なのでしょうか?

>> キースラ著,齋藤正彦訳の無限小解析
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinitesmal_analysis_from_p5_to_p9.pdf
>> で自然延長の定義を探しています。
>> p7の初等性質とは一階論理(∧,∨,¬,∀,∃を組み合わせて作られた命題論理式)の事を
>> 指すようです。
>> それでf∈Map(A,R) (但し,A⊂R)の自然延長f^*∈Map(A^*,R^*)を
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_natural_extension__00.jpg
>> という具合に定義を試みたのですが
> 自然延長と呼ばれるものの存在はこの「無限小解析」においては
> 「公理」です. 9 page に公理Ｃがあるでしょう.

つまり,任意のf∈Map(R^n,R^m)に対して
(具体的には像を表記できないが)f^*∈Map((R^*)^n,(R^*)^m)なるものが唯一つ存在する

という解釈でいいのでしょうか?

>> f^*(A^*\setminus R)=??
>> の右辺は何と書けるのでしょうか?
>> 7ページには"fと初等性質を共有"するようにf^*を定義するように
>> 記述されているのですが
> 公理Ｃで保証された自然延長がどのような性質を持つかは
> 公理Ｄで述べられています.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_system_formulae__00.jpg
という風に"式系"を定義しました。(但し,Bou(A)はAの境界点の集合です)

公理Dでは
Aを実方程式f(x)=0の実解の集合だとすると,
f^*(x^*)=0は同じ超実解A^*
と述べてあるのですよね。
このA^*って
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_system_formulae__00.jpg
の[Def9.3]でのA^*という解釈で大丈夫でしょうか?

>> 例えばf(x)=sin(x)ならf^*(x)ではsinの曲線を崩さないように
>> 滑らかに実数の隙間を超実数で埋めて定義するのかなとも思いましたが,
>> キチンと数式で記述する事が出来ません。
> それは x に対して y = \sin x がどのように定められたかを
> 辿れば記述できるわけです.

sin(x)=Σ_{n=0}^∞(-1)^n x^{2n-1}/(2n-1)!と定義致しましたが

> 具体的には \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)! と
> 定めれば, その自然延長も同じ式を満足します.

そうしますと,sin(x)の自然延長は
sin^*(x^*):=Σ_{n=0}^∞(-1)^n (x^*)^{2n-1}/(2n-1)!と定義されるのでしょうか?
と定義されるのでしょうか?

>> あと,
>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
>> での自然延長の欄で
>> 『f:R→R,R^*∋x={x_1,x_2,…}, (但し,各x_i∈R)
>> f^*(x):={f(x_1),f(x_2),…}で定義されるf^*をfの自然延長という』
>> というシンプルな定義を見つけたのですが
> この定義は, R^* の超積(超ベキ)での構成を前提としていますので,
> 「無限小解析」における公理的立場とは違うものです.

結局,こちらででもZFC公理系以外に新たな公理を用意せねば超実数を論じる事は不可能なのでしょうか?
出来ればZFC公理系のみで論じれれば大変うれしいのですが。

>> ここでxはRの部分集合になってますよね。
> 違うのです. R^* の元を分かりやすく区別して x^* としますが,
> x^* は R の無限積, \prod_{i \in I} R を,

Iは帰納的集合でΠ_{i∈I}RはR^{アレフ_0}という意味ですね。

> I の超フィルター U を用いて定まる同値関係で割った時の

フィルターの定義は
「(A⊃)Bに関係記号(一階関係記号,二階関係記号,…)rが存在する時に
Bはrに於けるA上のフィルターである」で,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_ultrafilter__00.jpg
が超フィルターの定義ですね。

従って,ここではI:=min{(J,⊂,U)∈2^U;I⊂(C,⊂,U)}がIの超フィルターUなのですね。 


> 同値類であるわけです.
> (a_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} R,
> (b_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} R,

(a_i)と(b_i)はIを添数集合とする実数列なのですね。

> について, (a_i)_{i \in I} と (b_i)_{i \in I} が同値であるとは,
> { i \in I | a_i = b_i } \in U となることだと定義します.

これは幾つかの互いに等しい項の添数部分集合はUに含まれる。
という事ですね。

> (a_i)_{i \in I} を含む同値類を [ (a_i)_{i \in I} ] としましょう.

(a_i)と(b_i)とが同値である時,(a_i)〜(b_i)と書く事にすれば
[(a_i)]:={(b_i)∈Π_{i∈I}R; (a_i)〜(b_i)}ですね。

> I を自然数全体 N として, N の一つの自明でない超フィルター U を
> とれば,

自明な超フィルタとはどのようなものでしょうか?

x^* = [ { x_i }_{i \in N} ]  (x_i \in R) となります.
> Wikipedia の記述では x = { x_1, x_2, \dots }  (x_i \in R) で
> 実数の無限列の「同値類(クラス)」を与えたつもりなのです.
> 正しくは x^* = [ { x_1, x_2, \dots } ]  (x_i \in R) であり,
> 同値類を表す [ ] を省いたのは問題です.

つまり,{[(a_i)];(a_i)∈Π_{i∈I}R}を超積と呼び,
これは非可算個(?)の類別で各類を超実数と呼ぶのですね。

>しかし,
> \sin^* x^* = [ { \sin(x_i) }_{i \in N} ] とするというのは
> 超積を用いての R^* の構成では自然なものです.

あぁ。これが関数sinの自然延長なのですね。

>> だから"R^*⊃x={x_1,x_2,…}"と書くべきだと思うのですが、、
> 部分集合ではなく, R の無限列の同値類だと考えているのです.

了解です。

>> R^*の元はRの部分集合なのですかっ!?
>> そうしますと,f^*は2^Rから2^Rへの写像になっているのですが、、
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinitesmal_analysis_from_p5_to_p9.pdf
>> ではR^*の元はRの部分集合であるという定義らしきものは見当たらないのですが。 
>> 
>> 勘違いしておりますでしょうか?
> ということで違います.

これも了解です。