Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!news.unit0.net!eternal-september.org!feeder.eternal-september.org!mx04.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: "Kyoko Yoshida" Newsgroups: fj.sci.math Subject: =?iso-2022-jp?B?UmU6IBskQiZGGyhCKHMpLERMKHMsGyRCJlYbKEIpLF97YW1vZE4ocyl9?= =?iso-2022-jp?B?LBskQiZGGyhCKHMseCkbJEIkTkojQUdKP0xMPmUkRyROQDVCJxsoQg==?= =?iso-2022-jp?B?GyRCQC0hJk0tTX03P0AtISYyckBPQFxCMzJERz1ALSROPlpMQBsoQg==?= Date: Tue, 18 Sep 2012 23:00:47 -0400 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 248 Message-ID: References: <120801230751.M0121599@ras1.kit.ac.jp><120809171757.M0124251@ras2.kit.ac.jp><120819004800.M0106858@ras2.kit.ac.jp><120827004132.M0110466@ras1.kit.ac.jp><120831172552.M0108743@ras1.kit.ac.jp> <120907175548.M0114546@ras1.kit.ac.jp> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; format=flowed; charset="iso-2022-jp"; reply-type=original Content-Transfer-Encoding: 7bit Injection-Date: Wed, 19 Sep 2012 02:50:39 +0000 (UTC) Injection-Info: mx04.eternal-september.org; posting-host="c508bef2fb2e8edba985b23bf70828b1"; logging-data="1977"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1/uUpQqjvBZGUaFPa/QoLsl5vqONy6wuZg=" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2900.6157 X-Newsreader: Microsoft Outlook Express 6.00.2900.5931 Cancel-Lock: sha1:s3ZGO1B8SwAdCpkLRFvusqVgLMM= X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3675 ご回答誠に有難うございます。 >> では結局 >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__14.jpg >> で「f(Z)=」の右辺は何と書けるのでしょうか? > s が整数であるときの \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du の値は > 2 \pi i 倍の u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の u = 0 での留数です. f(Z)={2πi Res_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)∈C;s∈Z}と書けるのですね。 > u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n > ですから, > u^{s-1}/(\exp(u) - 1) = u^{s-2} \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n > であり, s が 2 以上の整数であれば, > u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は u = 0 で正則ゆえ 0, > n を非負の整数として s = 1 - n なら 2 \pi i (B_n/n!) > になります. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__01.pdf とお陰様で漸く解決できました。 >>> Re(s) \leq 1 なら \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は, >>> x = 0 の所での発散の所為で, 発散します. >> これはどうして発散と分かるのでしょうか? > 充分小さな x > 0 に対して, |x^{s-1}/(\exp(x) - 1)| > (1/2) x^{Re(s) - 2} > であり, そのようになりますね。 http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__01.jpg >>> Re(s) \leq 0 どころか, Re(s) \leq 1 で発散です. > Re(s) \leq 1 なら \int_0^1 x^{Re(s) - 2} dx は発散です. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.jpg となりました。 これらから分かった事は∫_0^∞|x^{s-1}/(exp(x) - 1)|dx=∞という事ですが それからどうして Re(s)≦1 なら |∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x) - 1) dx|が発散と言えるのでしょうか? >> そうでしたか。すると >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.jpg >> にて(ii)はどのように対処すればいいのでしょうか? > Re(s) > 1 なら問題ありません. 充分小さな x > 0 に対して, > |x^{s-1}/(\exp(x) - 1)| < 2 x^{Re(s) - 2} ですから. これについてもこれからどうして |∫_0^1 x^{s-1}/(exp(x)-1)dx|<∫_0^1 x^{Re(s)-2}が言えるのでしょうか? >> {1/2,2,3,4,…}以外についてはまだ知られてないのですね。 > 随分と勘違いをされているようです. これは失礼致しました。 >> 何故 1/2 が紛れ込んでいるのかは謎です. >> 前々記事で「\zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に無数の零点を持つ関数ですよ.」 >> という事でしたので1/2を付け加えました。 > Re(s) = 1/2 の上に無数の零点があることは分かっていますが, > s = 1/2 は零点ではありません. そうでしたか。覚えておきます。 >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__00.jpg > |\exp(-u)| < 1 となるのはどういう時かわかっていますか. > u = 0 で成立しますか. そうでした。失礼致しました。 http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__01.jpg これでいいのですね。 >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__38.jpg >> と上手くいきました。 > 実は u > 0 でも u \to 0 で \exp(-u) \to 1 ですから, > 和 \sum_{n=1}^\infty \exp(-nu) は一様収束ではありません. > この話は以前に注意した筈です. これも失礼致しました。 http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__39.jpg http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__40.jpg http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__41.jpg なら宜しいでしょうか? >> 因みに >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__00.jpg >> で「(C\setminus{0})×C」としているのは >> u=0の複素数乗は定義されないので「\setminus{0}」を付け加えました >> (u^s:=sln(u)=s(ln|u|+iarg(u))より,ln|0|は定義されない)。 > 無駄な一般化の前に, 必要になる部分についての事実を > 確認しましょう. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__01.jpg で宜しいでしょうか? >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__00.pdf >> 取り敢えず計算してみたのですが >> どうしても第3項目がexp(2πis)∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)duとなりません。 >> 何処が間違っているのでしょうか? > u^{s-1} = \exp((s-1)\log u) であり, > \log u = \log |u| + i \arg u であり, > 積分路の最初の部分では \arg u = 0 と定めていて, > u^{s-1} = \exp((s-1) \log |u|) であるのに対し, > 積分路の最後の部分では \arg u = 2 \pi となるので, > u^{s-1} = \exp((s-1)(\log |u| + 2 \pi i)) > = \exp((s-1) \log |u|) \exp(2 \pi i s) > となるというだけのことです. 有難うございます。お陰様で漸く解決できました。 > 途中の不思議な計算は無視しておきます. すみません。何処の箇所でしょうか? >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.jpg >> の(i)と(iii)がにっちもさっちもいきません。一体どうすればいいのでしょうか? > 多価関数として u^s を考えると, Re(s) > 2 でも > s が実数でないと |u^s| を制御できないので, > (i) は撤回しておきます. > いずれ (i) は必要のないことでした. 了解です。 > (iii) は u^{s-1} が一価でないので当たり前です. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.pdf で大丈夫でしょうか? >>> だから, s が整数でない場合は多価関数 u^{s-1}/(\exp(u) - 1) を >>> u = 0 を含む領域では, 普通, 考えません. >> そうだったのですか。sが有理数の時は0^sは考えられるとしても >> sが無理数の場合も0^sは考えないものなのでしょうか >> (つまり,s∈C\setminusQの時は0^sは定義されない)? > 複素関数としてであれば, 普通, u^s の u = 0 での「値」は > s が非負の整数でなければ考えません. 0^0はケースバイケースで1と定義されてたり,0と定義されたりするし, sが負整数の場合はu^s|_{u=0}=1/u^-s|_{u=0}=1/0^-s=1/0で定義されないからなのですね。 >>> Re(s) > 2 であれば, \lim_{u \to 0} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) = 0 >>> となるので, > これも撤回しておきます. s が実数でないと意味がありませんでした. 了解です。 >>> u = 0 での u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の値を 0 と定めれば, >>> どんな分枝で考えても u = 0 では連続になります. > これも撤回しておきます. s が実数でないと意味がありませんでした. 了解です。 >>> そんなもののローラン級数展開やら留数やらを考えることも >>> 出来ません. >> え? それはどうしてなのでしょうか? > ローラン級数展開の存在は, 特異点の周りの円環領域で > その関数が一価正則であるときでないと保証されません. Laurent展開の定義からそうでしたね。了解です。 >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__01.jpg >> でいいのですね。 > 上で述べたことをご参照ください. 了解です。 >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_265__07.jpg >> というのがLaurent展開できる条件で, > ちょっと不正確ですが, 訂正致しました。 http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_laurent__00.jpg なら如何でしょうか? >> 今u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0にて非正則である事を >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__03.jpg >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__04.jpg >> として示そうと試みたいのですがどのようにして >> u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0でs-2位の零点を持つが非正則と分かるのでしょうか? > s が 2 以上の整数であれば, u = 0 でも正則ですよ. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.pdf でいいのですよね。 >> 後, s∈C\setminusZの時,u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0にて非正則である事は >> このような証明で宜しいでしょうか? > それは証明になっていないでしょう. > u = 0 の周りで一価でないというだけで十分です. そうですね。 >> 取り敢えず >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__02.jpg >> でいいのですね。 > 上記を御参照下さい. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__03.jpg http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__04.jpg でいいのですね。 >>> u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の u = 0 での留数は, >>> s = 1 の時 1 ですが, s が 1 より大きい整数の時は 0 です. >>> s が 0 以下の整数の時は, >>> u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n >>> でしたから, s = 1 - n (n は自然数) とすれば, >>> 留数は B_n/n! になります. >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__00.pdf >> とお蔭様で上手くいきました。美しいです。 > お分かりになったのでしょうか. えっ? どういうことでしょうか? >> それではi∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1) dθの値は何になるのでしょうか? > Re(s) > 1 のとき, \epsilon \to 0 で \to 0 になることさえ > 分かれば良いので, 具体的な値は必要ありません. 了解です。 >> Re(s)>1の時には-∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx >> +i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(exp(iθ))-1)dθ+exp(2πis)∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx >> は(exp(2πis)-1)∫_0^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)duと表示されるのですね。 > そうです. http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2836__00.jpg にて,Prop205.2836を示すにはProp205.2835をどのように利用すればいいのでしょうか? >>> s が整数であってもなくても同じです. >>> s が整数なら, その値を計算することが出来るというだけです. >> その計算は∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)du=(exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)を用いてでしょうか? > いいえ, u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の留数を用いてです. > それから \zeta(s) の s が非正の整数の時の値が計算できるでしょう. 取りあえずs∈C\setminusZなら http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf でいいのですね。 あと http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__00.pdf となったのですが8ページの上から4行目でつまづいてます。 ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)duがどうしてC上で正則と言えるのでしょうか? そして,9ページの上から3行目で∫_ε^∞exp((s-1)ln(x))/(exp(x)-1)dx∈Cとなる事と ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)duがN\setminus{0,1}でのみ一位の零点を持つ事はどうすれば言えますでしょうか? >> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__02.jpg >> となったのですがこの先どうすればいいのでしょうか? > 何がしたいのですか. 失礼致しました。 http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__02.pdf とこれで大丈夫でしょうか?