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Date: Wed, 15 Aug 2012 18:48:17 -0400
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いつも大変お世話になっております。

ZFC公理系のみから自然数の定義をずって試んでおりましたが混乱してしまいました。 

外延性公理,,空集合の存在公理,,対の公理,,合併集合の公理,,無限集合の公理,冪集合の公理,置換公理,正則性の公理,選択公理

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_natural_number__00.jpg
という風に順に定義してみたのですが定義9.79で共通部分を再帰的(帰納的)に定義したつもりでしたが,
Bを「;」の前後に使っている為に分出公理(任意の集合aに対して集合b存在する such 
that (x∈b⇔(x∈a∧P(x))) (但し,P(x)は変数xについての条件)に抵触しないものか心配しております。
つまり,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合に為しているのかです。

実際には,今, b:={x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}, a:=B, P(x):=B∈C∧(∀A∈C,x∈A) 
と見做すのだと思います。
 x∈{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}を採ると,x∈Bは直ぐに分かりますがB∈C∧(∀A∈C,x∈A)はxについての条件を為しているかは判定不能なので(∵少なくともB∈Cという条件は全くxとは無縁),
従って,{x∈B ;B∈C∧(∀A∈C,x∈A)}は集合を為してませんよね。
この場合,どのようにして∩_{A∈C}A∩Aを定義すればいいのでしょうか?

そして,∩_{X∈I}Xを自然数の定義とするのですが(これならペアノの公理は不要ですよね),
ここでIは色んな帰納的集合の集合ですよね。∩_{X∈I}Xが空集合とはならないという保証は何処から来るのでしょうか?


吉田京子