ご回答誠に有難うございます。

>>> 先ず, 97 page の定理 3.18 (1) には誤植があり,
>>> \zeta(1-r, x) = - (1/r) B_r(x) が正しいことに注意します.
> と申し上げているのに,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__33.jpg
> では直っていませんね.

大変失礼いたしました。即訂正致しました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__34.jpg
> 極が出て来る部分を除くと無限和が収束して正則関数を与える
> ということを使わないでは, 「証明」とは言えません.

ζ(s,x)がs=1にて一位の極を持つ事は知っておりますが
えっ? 今,1≦n∈Nであってn=0とは仮定していないので極の心配は不要なのでは?

>> 所でn=0の場合の
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__32.jpg
>> の出番はいつなのでしょうか?
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/P102.JPG
>> に記載されてたので定理3.18(1)の証明でつい書いてしまったのですが。
> n = 0 の場合からは zeta 関数が s = 1 で一位の極を持つことと,
> そこでの留数がどうなるか, が出てきます.

もしかしてn∈N∪{0}と仮定してあるのですかね。
それならという事で
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__36.jpg
としてみましたが,
右辺の-1/0 B_0(x)が左辺と同じようにΣ_{k=0}^∞c_k(z-a)^k+1/(z-1)^1と表される事が分かるのでしょうか?

>> (2)については(1)を利用して
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__35.jpg
>> と上手くいきました。
> 馬鹿げた式を使う人は相手にしません.

しまったたた。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__37.jpg
とするのでした。