いつも大変お世話になっております。

>> 部分集合を値にとる写像についての正則性の定義などはどうされますか.
>> それについての Cauchy の積分定理などはどうなりますか.
> ちょっと考えさせてください。

f∈Map((C×{0})∪({0}×(C\setminus{0}))),C)を
f(x+yi,0):=(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 
x/√(x^2+y^2))/2)),
f(0,x+yi):=-(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 
x/√(x^2+y^2))/2)) (但し,xy≠0)
と定義すればいいかと思います。

z:=x+yiという変数で表す時, z=z_0の時, (z_0,0)でfが正則であるとは
lim_{C∋h→0}(f(z_0+h,0)-f(z_0,0))/hで定義できるかと思います。

Cauchyの積分定理についてはもう少し時間を下さい。

>>> 単に写像になるようにしたいのであればfは
>>> f∈Map(((C〓{0})×{0})∪({0}×(C〓{0})),C);
>>> f(x+yi,0):=+(((瘋}ヲx^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1
>>> x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
>>> f(0,x+yi):=-(((瘋}ヲx^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1
>>> x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
>>> と定義すればいいのではないでしょうか。
>>> これだとfは写像(1価関数)になりますよね?
>> もう一つの貴方の大きな間違いは, cos^{-1} を一価関数と考えたいときは
>> どのような領域で考えないといけないかを忘れていることです.

例えば,cosθ=1なら (θ=)cos^1(1)=2nπ (但し,n∈Z)と多価関数になってしまいますね。
その時は,f:=cos^-1∈Map(([-1,1]×{2}×{2}×…)∪({2}×[-1,1]×{2}×…)∪…,R) 
 (但し,"…"は可算個を意味する)
f(1,2,2,…):=0,f(2,1,2,…):=2π,f(2,2,1,2,…):=-2π,f(2,2,2,1,2…):=4π,f(2,2,2,2,1,2…):=-4π,… 

f(1/2,2,2,…):=π/6,f(2,1/2,2,…):=-π/6,f(2,2,1/2,2,…):=π/6+2π,f(2,2,2,1/2,2…):=-π/6+2π,f(2,2,2,2,1/2,2…):=π/6+4π,… 

という具合に定義すればいいのではと思います。