tanaq <tanaq@ca2.so-net.ne.jp> writes:

できの悪い4脚椅子がガタガタする問題と格闘して、
心と体と仕事を壊したことがあるんですけど ;-)

>空間上の任意の４点について互いの距離を変えずに移動した
>ときに、４点とも接するような場所が必ず見つかるような曲面は
>存在するのでしょうか。

「4点とも接する」が、3次元の曲面上に4点が存在する、
という意味でしたら、2次曲面なんかどうでしょうか。
手元の線形代数の本に、

「3次元の場合、標準形は、
    λ_1 x^2 + λ_2 y^2 + λ_3 z^2 + d = 0 (有心)
    λ_1 x^2 + λ_2 y^2 + 2pz = 0         (無心, p ≠ 0)」

なんてのがありますので。