ご回答大変有難うございます。

> ひとつの図形については Hausdorff 次元は一意に決まりますが,
> S = S_1 ∪ S_2 ∪ … ∪ S_N となっているときに,
> S_i の Hausdorff 次元が異なることはあります. そのときは
> dim S = max dim S_i となります. 可算和なら max を sup に
> して同じことが成り立ちます.

有難うございます。参考になります。

>> するとα =log 3/log 2の時,m_α(S)≦1となるのはどうしてでしょうか?
> それが直ぐ後に証明してあることです.
：
> このように, 上からの評価は, 具体的な良い被覆を一つ見つければ
> 示せますが, 下からの評価は, どんな被覆についてもある値以上に
> なることを示さないといけないので難しいわけです.

分かってきました。0<∀δ∈Rに対して,1/2^K<δなるKが採れますからS_Kは直径が<δの小三角形3^K個の集合であり,
H^δ_α≦3^K・(1/2^K)^αと書け(∵H^δ_αの定義(下限の定義))ここでα=ln3/ln2とおくと,3^K・(1/2^K)
^α=1となるので
H^δ_α≦1,つまり,0<∀δ∈Rに対して,H^δ_α≦1. 従って,m_α(S)≦1.
となるのですね。
で後は下から正数で押さえれることを示せばstrict Hausdorff次元が示せた事になるのですね。

>> 結局,cとしてどんな値が採れるのでしょうか?
> それは証明を全部読まないといけませんね.

そうでしたか。

>> 段々,証明の手順が分かってきました。 つまり,α = log 3/log 2と仮定し0<m_α(S)≦1である事を示す。
>> するとdimSとしてlog 3/log 2が考えられる (勿論,log 3/log 2以外のα
>> でも0<m_α(S)≦1となるかもしれないんですよね)。
> 一つの α について 0 < m_α(S) < ∞ となれば,
> 他の β については 0 < m_β(S) < ∞ とはなりません.
> 実際, β < α なら m_β(S) = ∞, α < β なら m_β(S) = 0
> となります.

α =log 3/log 2の時,m_α(S)≦1でしたからdim(S)≦α…(*)と言えますね(∵Hausdorff次元の定義)。
β < α なら m_β(S) = ∞となるのは何故なのでしょうか?
α < β なら m_β(S) = 0となるのはもしm_β(S)>0なら(α<)β≦dim(S)となり,(*)に矛盾するのですね。

>> α = log 3/log 2以外では0=m_α(S) or m_α(S)=∞
>> となる事は どうすれば示せますでしょうか?
> だから, α = log 3/log 2 について 0 < m_α(S) を
> 示せばお仕舞いです. 本当に証明の手順が分かっていますか.

ああ、分かりました。α = log 3/log 2 について 0 < m_α(S) を示せば既にm_α(S)≦1であった事からdim(S)<α
が言え,
α=0の時はΣ_{j=1}^∞(diamF_j)^α=Σ_{j=1}^∞(diamF_j)^0=Σ_{j=1}^∞1=∞になりますから
0<dim(S)
よって,0<dim(S)<ln3/ln2 (∵Hausdorff次元)でdim(S)はstrict Hausdorff次元を持つ。
、、とこのように0 < m_α(S)を示さずstrictである事が言えましたがこれでは駄目なのでしょうか?

因みに0 < m_α(S)である事はもし仮にm_α(S)=0であったとしてみるとm_α(S)=lim_{δ→0}H_α^δ(S)=0で
(∵Hausdorff測度の定義)
H_α^δ(S)はδ→0の時,単調増加でしたから,0<∀δ∈Rに対してH_α^δ(S)=0。。。。
でここからどのようにして矛盾が引き出せますでしょうか?