いつも大変お世話になっております。

[Q.] Let T denote the INTERIOR of the triaingle whose vertices in the
complex plane are 0,1,i. Find
sup_{z∈T}(z+i)^2.
Answer each question as started. Do not assume that there are typos.
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/5.jpg

という問題です。
複素平面では大小関係は無いのsupの定義がどうなるのか分かりませんでした。
参考書等にもsupの定義は見つけれませんでした。

supは順序が存在する範囲でしか定義されないとも推測しました。
よって,z=x+iy (但し,x:=Re(z),y:=Im(z))として
sup_{x∈T}(z+i)^2=sup{(z+i)^2;z∈T}=sup{x^2-(y+1)^2+2i(1+y);x+iy∈T}となるので
y=-1の範囲でsupは定義されるのかと推測して
sup{x^2-(y+1)^2+2i(1+y);x+iy∈T}=sup{x^2;x+iy∈T}=1^2=1.
と結論づいたのですがこれはどのようにして解けばいいのでしょうか?

吉田京子