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From: kyokoyoshida123@gmail.com
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: f(x)=x^k(k $B$O<+A3?t (B) $B$G (Bm_ $B&A (B(E)=0 $B"M (Bm_ $B&A 
	(B(f(E))=0  $B$J$i (Bdim(E)=dimf(E) $B$r<($; (B
Date: Sun, 3 May 2009 14:48:29 -0700 (PDT)
Organization: http://groups.google.com
Lines: 152
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ご回答大変有難うございます。

>> えっ? kが奇数の時は- (-y)^{1/k} とy^{1/k}は同じことではないのでしょうか?
> 整数でない b については a^b は a ≧ 0 についてのみ
> 定義するのが正しい作法です.

なるほど。指数が1/kの形ならまだましも指数がh/kの形とかだとa^bで底が負のだと複雑になっていきますものね。
もし,指数が無理数だとa^b=sup{a^b';Q∋b'<b}で底が負ならなおさらですね。
それでaが負の場合はa^b:=-((-a)^b)と定義してあるのですね。

>>>  (-∞, 0) 上で定義された (-∞, 0) に値をとる関数です.
>> kが奇数の時はy=x^kの逆関数(0,∞)では定義されないのでしょうか?
> それは (0, ∞) から (0, ∞) への写像の逆関数として
> 別に定義してあるでしょう.

(0,∞)の時は底が正だから単にx=y^(1/k)と定義すればいいのですね。

>> 「m_α(f(E))=0でkが奇数ならf^-1は全単射で (1)から
>> 0=m_α(f^-1f(E))=m_α(E)が言えますね。 ： よってm_α(f(E))=m_α(E) 」
>> の議論は間違ってますでしょうか?
> 議論に実質的な内容がないので, 貴方の理解は測れません.

すいません。下記のように何とか結論づいたのですが、、、
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/No5_20090505.jpg
勘違いしてますでしょうか?

>> ここまでは一応分かりますが dimE<αでは等号が入らないのに
>> どうしてdimf(E)≦αでは等号が入るのでしょうか?
> dim E < α でないと m_α(E) = 0 であることは導けません.

納得です。

> m_α(f(E)) = 0 から導けるのは dim f(E) ≦ α であること
> だけです.

そうですね。dim E < α とm_α(f(E)) = 0 とHausdorff次元の定義からdimf(E)≦αでないといけませんね。

>>>  dim f(E) ≦ dim E です.
>> どうしてdimf(E)≦αからdimf(E) ≦ dimEが出てくるのでしょうか?
> dim E < α である任意の α について dim f(E) ≦ α
> であるなら, dim f(E) ≦ dim E です.

そうでした。

> # dim f(E) > dim E であれば,
> # dim E < α < dim f(E) となる α が存在します.

この時,dimf(E)≠0で(∵Hausdorff次元),m_α(f(E))=0であった事に矛盾ですね。

>> m_α(E)=0ならm_α(f(E))=0で(∵(1)), γ=1でLipschitz条件が成立しているので
>> Lemma2.2の(ii)が使えて,dimf(E)≦dimEが言えるのではないでしょうか?
> Lemma 2.2 というのは E が compact という条件下で
> 成立しているものでした. それが無くても大丈夫, とは
> 言いましたが, それは示さないといけません.

Borel集合体の定義に「コンパクト集合全体を含む最小のσ集合体をBorel集合体という」
とありましたが,
「BをR^dでのσ集合体とする時,
Bがコンパクト全体を含む⇔Bが開集合全体を含む」を示さねばならないのですね。

>で,Lemma 2.2 の (ii) の証明には上で述べたような
> 論法が使われているのですが, それを理解されていますか.

以前,ご教示頂きましたよね。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/lemma2_2_prime.jpg
という具合に理解しておりますが。

>>> 上の, m_α(f(E)) = 0 なら m_α(E) = 0 が分かれば, dim f(E) < α なら
>>> m_α(f(E)) = 0 で, m_α(E) = 0 となるので, dim E ≦ α となり, dim E ≦
>>> dim F(E) です.
>> これも, m_α(f(E))=0ならm_α(E)=0となるのだから, これはm_α(f(E))=0ならm_α(f^-1f(E))=0
>> と書け, γ=1でのLipschitz条件が成立しててLemma2.2の(ii)よりdimE≦dimf(E).
>> とし ては駄目なのでしょうか?
> f^{-1} の Lipschitz 条件というのは,
> m_α(f(E)) =0 なら m_α(E) = 0 を示す為に使うので,
> そこから dim E ≦ dim f(E) の条件を出すのは

そうだったのですか。

> 同じ論法になることを説明しました.

そうですね。証明済みのm_α(f(E))=0で,m_α(E)=0と(a)とそれぞれで同様の議論で
dimE≧dimf(E)とdimE≦dimf(E)が言えるのでdimE=dimf(E)が言えるのですね。

> Lemma 2.2 は直接使えません.

了解いたしました。

>>>  (1) が使えるのではなくて, (1) と「同様に」証明できるのです. (1) は x^k
>>> が Lipschitz であることを用いて証明したのです. m_α(f(E)) = 0 なら
>>> m_α(E) = 0 を証明するには, (局所的な) 逆写像が Lipschitz であることを使う必要があります.
>> 「m_α(f(E))=0でkが奇数ならf^-1は全単射で (1)から0=m_α(f^-1f(E))=m_α(E)が言えますね。
>> ： よってm_α(f(E))=m_α(E) 」 ですよね。
> 貴方は, f^{-1} が Lipschitz 条件を満たすことを
> 示していません.

すいません。

kが奇数の時にはf^-1はBorel集合f(E∩[-n,-n+1))でγ=1のLipschitz条件を満たす…①
(∵f^-1はf([-n,-n+1))でγ=1のLipschitz条件を満たす。
(∵∃M∈R;∀s,t∈f([-n,-n+1))に対して,|f^-1(s)-f^-1(t)|≦M|s-t|として
M:=sup{d/dyf^-1(y);y∈f((-n,-n+1))}が採れる
(∵f^-1はf((-n,-n+1))で微分可能)))。
同様にf^-1はf(E∩{0})やf(E∩(n,n+1])ででもγ=1のLipschitz条件を満たす。

よって, E_{-n}:=E∩[-n,-n+1), E_0:=E∩{0}, E_n:=E∩(n,n+1]と置くと
0=m_α(f(E))=m_α(f(∪_{n=1}^∞E_{-n})∪E_0∪E_n))
=Σ_{n=1}(m_α(f(E_{-n})+m_α(f(E_0))+m_α(E_n))(∵可算加法性)
なら
m_α(f(E_{-n}))≧0,m_α(f(E_0))≧0,m_α(f(E_n))≧0なので(∵測度の定義)
m_α(f(E_{-n}))=m_α(f(E_0))=m_α(f(E_n))=0…②とならねばならない。
よって,m_α(E)=m_α(∪_{n=1}^∞E_{-n})∪E_0∪E_n)
=Σ_{n=1}(m_α(E_{-n})+m_α(E_0)+m_α(E_n))(∵可算加法性)
=Σ_{n=1}(m_α(f^-1f(E_{-n}))+m_α(f^-1f(E_0))+m_α(f^-1f(E_n)))
=Σ_{n=1}(0+0+0)(∵①,②,(a))
=0
となるのですね。

kが偶数の時には(-∞,0)ではM:=-inf{d/dyf^-1(y);y∈f((-n,-n+1))}と置けばよい。

> f についても示していませんね.
> それはこの問題において最低限為すべき実質的なことです.

これも同様に
kが奇数の時はfはBorel集合E∩[-n,-n+1)でγ=1のLipschitz条件を満たす
(∵fは[-n,-n+1)でγ=1のLipschitz条件を満たす。
(∵∃M∈R;∀s,t∈[-n,-n+1)に対して,|f(s)-f(t)|≦M|s-t|として
M:=sup{d/dxf(x);x∈(-n,-n+1)}が採れる
(∵fは(-n,-n+1)で微分可能)))。
同様にfはE∩{0}やE∩(n,n+1]ででもγ=1のLipschitz条件を満たす。
となるのですね。
kが偶数の時はM:=-inf{d/dxf(x);x∈(-n,-n+1)}と採ればよい。

>> 「但し, (0, ∞) の 0 も境界の点であるので, (0,1)=∪_{n=1}^∞ [1/(n+1),
>> 1/n) と 分けないと, f^{-1} が Lipschitz にならなかったりします」
>> 分けない場合,(0,1)でf^{-1} が Lipschitzにならない場合とは どんな場合がありますでしょうか?
> 「場合」があるのではなく, 「ならない」のです.

つまり,局所的にしかLipschitz条件を満たさないのですね。

> Lipschitz 条件を満たすことを示して見て下さい.

kが奇数の場合はy=x^3の時とかはx=-(-y)^(1/3)は
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/k_is_odd.jpg
となり,
s,t∈(0,∞)で|f^-1(s)-f^-1(t)|/|s-t|はMの値を幾らに採っておいても0に接近するとMを超えてしまいますね。
|f^-1(s)-f^-1(t)|/|s-t|^γでγの値を幾らに採っておいても同様にMを超えてしまいますね。

kが偶数の場合も
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/k_is_even.jpg
となり,同様に0に接近するとMを超えてしまいますね。
よって (0,1)=∪_{n=1}^∞ [1/(n+1),1/n)と分けないといけないのですね。