ご回答大変ありがとうございます。

>> 「lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi) = lim_{z→πi} (sinh(z) - sinh(πi))/(z -
>> πi) = (sinh(z))'|_{z = πi} = cosh(πi) = -1」 からどうして一位の極が分かるのでしょうか?
> それを使うと, lim_{z→πi} (z - πi)(z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))
> の値が有限確定であったからですね.

そうでした。勘違いしてました。
lim_{z→πi} (z-πi)(z-sinh(z))/(z^2 sinh(z))=lim_{z→πi}1/(sinh(z)/(z-
πi))・((z-sinh(z))/z^2)
=-1・1/(πi) (∵lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi)= -1)
=-1/(πi)
となりますね。

>> (z-sinh(z))/(z^2sinh(z))はz=πiで一位の極を持つ事を知る為には
>> [(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))]/(z-πi)のz=πiでの微分可能性
>> (つまりlim_{z→πi}[(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))]/(z-πi)が収束する事) を示さないといけませんよね。
> 又間違えていますね. (z - πi)[(z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))]
> が z = πi の近傍で正則な関数に拡張されることを示すことが,
> (z - sinh(z))/(z^2 sinh(z)) が z = πi で一位の極を
> 持つことを示すことになるのです.

ありがとうございます。やっと分かりました。g(z):=(z-a)^n f(z)が
0≠∃lim_{z→a}g(z)∈Cの時(つまり,g(z)がz=aで微分可能でg(a)≠0という風にg(z)をz=aでも定義できる),
g(z)はn位の極を持つというのですね。
これがn位の極の定義なのですね。

それでRes_{z=πi}(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))=i/πと
Res_{z=πi}exp(zt)/sinh(z)+Res_{z=-πi}exp(zt)/sinh(z)=-2cos(πt).
と上手くいきました。