Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!b38g2000prf.googlegroups.com!not-for-mail From: kyokoyoshida123@gmail.com Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: $BB,EY6u4V (B(R,B(R), $B&L (B) $B$G (Bf(x)=x^2 $B$N;~ (B, $B"i (B_R fd $B&L$r7W;;$;$h (B Date: Sun, 2 Nov 2008 19:27:06 -0800 (PST) Organization: http://groups.google.com Lines: 103 Message-ID: References: <081102175607.M0226996@cs2.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 219.111.67.142 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1225682826 19038 127.0.0.1 (3 Nov 2008 03:27:06 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Mon, 3 Nov 2008 03:27:06 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: b38g2000prf.googlegroups.com; posting-host=219.111.67.142; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 7.0; Windows NT 5.1; AntivirXP08),gzip(gfe),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2316 河野様,塚本様ご回答ありがとうございます。迚も参考になっています。 > ここまでは良いですね. ありがとうございます。 >> (3)の解 ルベーグ積分の定義から ∫_R x^2dμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ {f_k}はx^2の >> 定義関数列(detemining sequence) と書けるだと思います。 {f_k}はどのようにして見つければ >> いいのでしょうか? > k に関わらず, > f_k = (1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}} > とすれば十分です. 1_{{1}} は {1} という集合の定義関数, > 1_{{3}} は {3} という集合の定義関数です. ε > 0 について > { x ∈ R ; |f(x) - f_k(x)| ≧ ε } ⊂ R ＼ {1, 3} の > 測度は 0 です. えーと, 0<∀ε∈Rに対してμ({x∈R;|f(x)-f_k(x)|≧ε}) =μ({x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε}) =μ({x∈R;|x^2-(1・1_{{1}}(x)+9・1_{{3}}(x))|≧ε}) ここでx=1の時,|1^2-(1・1_{{1}}(1)+9・1_{{3}}(1))|=1^2-(1・1+9・0)=0 なのでx=1の時は{x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε}=φ でμ(φ)=0 (∵測度の定義) x=3の時,|3^2-(1・1_{{1}}(3)+9・1_{{3}}(3))|=3^2-(1・0+9・1)=0 x=3の時も{x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε}=φ でμ(φ)=0 それ以外の時, |x^2-(1・1_{{1}}(x)+9・1_{{3}}(x))|=x^2-(1・0+9・0)=x^2 なので =μ({x∈R,x^2≦-εor ε≦x^2}) =μ({x∈R,x^2+ε≦0 or (x+ε)(x-ε)≧0}) =μ({x∈R;(x≦-√εまたは√ε≦x)且つ(x≠1,x≠3)}) でこれは測度0になるとは思えませんが…。 勘違いしてますでしょうか? > 従って, f_k は f に測度収束します. lim[k→∞]μ({x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε})はx=1やx=3の時なら 確かに測度収束しますね。 L^1コーシーである事は 0<∀ε∈R,E∈Σに対して∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ=∫_E |((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|dμ =∫_E |0|dμ=∫_E 0dμ=lim[n→∞]∫_E 0_n(x)dμ (但し,{0_n}は∀n∈Nに対し,0_n(x)=0となる0の 定義関数列) =lim[n→∞]0・μ(E) (∵積分可能単関数列の積分の定義) =0 なので (1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}は確かにL^1コーシー列。 取り合えず,(1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}がf(x)=x^2の定義関数列なら ∫_R f(x)dμ=∫_R x^2dμ=lim[n→∞]∫_R ((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)dμ(∵ ルベーグ積分の定義) =∫_R ((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)dμ =1・μ({1})+9・μ({3})+0・μ(R＼{1,3}) (∵可積な単関数の積分の定義) =1・0+9・0+0・∞ =0+0+0 (∵0・∞=0?) =0 で正しいでしょうか? 0・∞=0はどうして言えるのでしょうか? >> (4)の解 ルベーグ積分の定義から ∫_R 1_Qdμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ >> {f_k}は1_Qの定義関数列(detemining sequence) と書けるだと思います。 >> {f_k}はどのようにして見つければ >> いいのでしょうか? > k に関わらず, > f_k = g = 1_Q > とすれば十分です. 0<∀ε∈Rに対してμ({x∈R;|f(x)-f_k(x)|≧ε}) =μ({x∈R;|1_Q(x)-1_(Q)(x)|≧ε}) =μ({x∈R;|0|≧ε}) =μ(φ)=0 (∵測度の定義) よって lim[k→∞]μ({x∈R;|f_k(x)-f(x)|≧ε})=lim[k→∞]μ(φ) =lim[k→∞]0=0. で確かに測度収束しますね。 L^1コーシーである事は 0<∀ε∈R,E∈Σに対して∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ=∫_E |1_Q(x)-1_Q(x)|dμ =∫_E |0|dμ=∫_E 0dμ=lim[n→∞]∫_E 0_n(x)dμ (但し,{0_n}は∀n∈Nに対し,0_n(x)=0となる0の 定義関数列) =lim[n→∞]0・μ(E) (∵積分可能単関数列の積分の定義) =0 なので 1_QはL^1コーシー列 以上より,1_Qはg(=1_Q)の定義関数列になっています。 よってルベーグ積分値を求めてみます。 1_Qがg=1_Qの定義関数列なので ∫_R gdμ=∫_R 1_Qdμ=lim[n→∞]∫_R 1_Q(x)dμ(∵ルベーグ積分の定義) =1・μ(Q)+0・μ(R＼Q) (∵可積な単関数の積分の定義) =1・0+0・(μ(R)-μ(Q)) (∵測度の定義(可算加法性)) =0+0・(∞-0) =0+0・∞ =0+0 (∵0・∞=0?) で正しいでしょうか?