Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!z10g2000yqb.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: $BG$0U$NFs$D$N=89g (B A,B $B$K$D$$$F!" (BA $B$+$i (B B $B$X$NC1 References: <100531173234.M0203016@cals1.kit.ac.jp> <100601172442.M0224800@cals1.kit.ac.jp> <100611125026.M0322224@ras1.kit.ac.jp> <2a7b6884-2de4-4995-9c22-c3ceab86d053@d16g2000yqb.googlegroups.com> <100701194043.M0323768@ras2.kit.ac.jp> <100705200243.M0117610@ras1.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 74.72.91.236 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1278703174 29704 127.0.0.1 (9 Jul 2010 19:19:34 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Fri, 9 Jul 2010 19:19:34 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: z10g2000yqb.googlegroups.com; posting-host=74.72.91.236; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3106 どうもご回答ありがとうこざいます。 > ∪_{g ∈ S'} graph(g) がある写像の graph > になることを > 言おうとしているときに, その写像に ∪_{g ∈ S'} g > という名前を > 先に与えるのは良くないと思いますが, それはさておき, そうでしたか。すいません。 >> proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))が定義域で >> proj_B(∪_{g∈S'}graph(g))が値域です。 >> 従って,proj_A(∪_{g∈S'}gの定義は > ∪_{g∈S'} g の定義ですか. > a ∈ proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) のとき, > proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) = ∪_{g∈S'} > proj_A(graph(g)) > ですから, そうですね。 >> ∀a∈proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に対して,∃g∈S';a∈dom(g) >> (∵もし∀g∈S',aはdom(g)に含まれないとすると >> 即ち(a,g(a))は∪_{g∈S'}graph(g)に含まれないとすると >> (∵graphの定義),それでaはproj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に >> 含まれない。 >> 従ってこれはa∈proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に矛盾) > a ∈ proj_A(graph(g)) となる g ∈ S' > があるというのは良い 「 a ∈ proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) のとき, proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) = ∪_{g∈S'} proj_A(graph(g))」 よりそうですね。. > このとき, a ∈ dom(g) ですが, 他にも a ∈ dom(h)となる > h ∈ S' があったとして, g(a) = h(a) > を示す必要がある. そうですね。写像である事を示すのでからね。 >> 更にたとえ∃g,h∈S';a∈dom(g),a∈dom(h)であってもg(a)=h(a) >> (∵今S'は全順序なのでg≦hかg≧h,即ちgraph(g)⊂graph(h) >> かgraph(g)⊃graph(h) >> 従って{∪_{g∈S'}g)(a)}は単集合), > ここで, S' が chain > であることを使っていることを明確に > しておくことが肝要です. (∵今S'は全順序なのでg≦hかg≧h,即ち ↓ (∵今S'はchainなのでg≦hかg≧h,即ち と明確にすべきですね。 >> で一応,写した先が1つの元になっているのでこれで写像の定 >> 義としてみたいのですが >> これは苦し紛れですね。 > いや当然のことです. これもそうですね。 > それとも∪_{g∈S'}(g):=∪_{g∈S'}graph(g)と強引に定義 > してみたりしたのですが,,, > それは何も主張したことにならない虚の記号操作です. すいません。ここはgraph(∪_{g∈S'}g)=∪_{g∈S'}graph(g)を言わねばなりませんね。 ⊂については ∀x∈graph(∪_{g∈S'}g)を採ると, x∈{(a,(∪_{g∈S'}g)(a))∈A×B;a∈proj_A(∪_{g∈S'}g))} (∵graphの定義) x∈{(a,g(a))∈A×B;∃g=S'}なので(∵和集合の定義) ∃g∈S';x=(a,g(a)) (where a∈A) (∵S'は全単射全体の集合Sのchain)。 その時,x∈graph(g)⊂∪_{g∈S'}graph(g). 従って, ⊂が成立つ。 逆に,∀x∈∪_{g∈S'}graph(g)を採ると,∃g∈S';x∈graph(g) (∵和集合の定義). その時, x∈graph(∪_{g∈S'} g) (∵g⊂∪_{g∈S'} g (∵和集合の定義)). 従って,⊃が成立つ。 ですかね。 >>> ここで求められているのは, ∪_{g ∈ S'} graph(g) >>> ある写像の graph となっていることを示すことです. >>> つまり,∪_{g∈S'}gのgraphになっている事ですよね。 > A × B の部分集合 C が写像の graph になるとは, > (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C であれば, b = b' である, > ということです. 有難うございます。行き先は1つの元なのでb=b'でなければなりませんね。 つまり, 「C=graph(∪_{g∈S'} g)⇔もし(a,b),(a,b')∈Sならb=b'」 が Cが∪_{g∈S'} gのgraphである事の必要十分条件なのですね。 >>> 先ず, A × B の部分集合が, A >>> のある部分集合上で定義 >>> された, >>> B のある部分集合に値を取る, ある写像の graph >>> になる為の >>> 必要十分条件は何であるかを述べた上で, >> fをA'⊂AからB'⊂Bへの写像とするとf=graph(f)が必要十分 >> 条件だと思います。 > それも意味のない言葉の羅列ですね. 失礼致しました。 >>> ∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際, >>> その条件を満足することを示すことです. >> うーんと, >> ∪_{g∈S'}graph(g)=∪_{g∈S'}(g) >> (∵∪_{g∈S'}(g):=∪_{g∈S'}graph(g)) >> =graph(∪_{g∈S'}g) (∵∪_{g∈S'}gは写像より) >> とかしてみたのですが。。。 > 記号を並べただけでは意味のある主張にはなりません. これも失礼致しました。 >>> 実の所, 更に, >>> その写像は全単射でなければなりませんから, >>> 先ず, A × B の部分集合が, >>> Aのある部分集合上で定義された, >>> B のある部分集合に値を取る, ある全単射写像の >>> graphになる為の必要十分条件は何であるかを >>> 述べた上で,∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際, >>> その条件を満足することを示す必要があります. >> A×B⊃A'×B'においてMap(A',B')∋f:全単射 痳z・ >> ∀a∈proj_A(graph(f)),∃!f(a)∈proj_B(graph(g))ですかね。 > (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C であれば, b = b' である, > に加えて, これは写像の定義ですよね。 > (a, b) ∈ C, (a', b) ∈ C であれば, a = a' である, これは単射の定義ですね。 > ことが必要十分条件になります. ありがとうございます。 「graph(∪_{g∈S'} g)が全単射のgraph ⇔ もし(a,b),(a,b')∈graph(∪_{g∈S'} g)ならb=b'…(1) 且つもし(a,b),(a',b)∈graph(∪_{g∈S'} g)ならa=a'…(2)」 ですね。 必要性について ∃g,h∈S';b=g(a),b'=h(a)とすると,今S'はchainなのでg≦hかg≧h その時,graph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)なので b,b'∈graph(h)かb,b'∈graph(g), 更に(S'⊂)Sは全単射の集合, 故にb=b'が成立せねばならない。 (1)と同様に(2)も示される。 十分性について 今,(a,b),(a',b')∈graph(∪_{g∈S'} g)で(a,b)=(a',b')∈∪_{g∈S'} g とすると(∵仮定 (1)&(2)), これはもしa=a'なら(∪_{g∈S'} g)(a)=(∪_{g∈S'} g)(a')を意味している。 うーん、ここから頓挫してしまいました。 >>>> ∪_{g ∈ S'} gも全単射となる。 >>> これには理由が示されていません. >> 常に全単射のgraphに吸収され続けるのでその極限のgraph >> 全単射かなあと思ったのですが > 論理的にはどのように示せばいいのかわかりませんでした。 > 上の必要十分条件を用いて, 論理的に示すことを > 試みられることをお勧めします. ∪_{g ∈ S'} gも全単射となる事は a≠a'なるa,a'∈dom(∪_{g ∈ S'} g)を採ると,∃g,h∈S';a∈dom(g),b∈dom(h) (∵和集合の定義) その時,S'はchainなのでg≦hかg≧hでgraph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h). それでa,a'∈graph(h)かa,a'∈graph(g)となる。 それでa,a'∈dom(h)かa,a'∈dom(g) (∵graphの定義)なので h(a)≠h(a') (∵h∈S'⊂S)かg(a)≠g(a') (∵g∈S'⊂S)なので hは単射かgは単射, 即ち,a≠a'なる∀a,a'∈dom(∪_{g ∈ S'} g)に対して,必ず∃h∈S';h(a)≠h(a'). この時これは(∪_{g ∈ S'} g)(a)≠(∪_{g ∈ S'} g)(a')を意味している。 従って,∪_{g ∈ S'} gは単射。 次に全射になる事は ∃b∈range(∪_{g ∈ S'} g)…(3);(∪_{g ∈ S'} g)^-1(b)がdom(∪_{g ∈ S'} g)に含まれな い…(4) と仮定してみると (3)より∃h∈S';b∈range(h) (∵和集合の定義). この時,hは全射なので∃a∈dom(h)だが h⊂∪_{g ∈ S'} gなので∃a∈dom(∪_{g ∈ S'} g)を意味する事になる。 これは(4)に反する。よって∪_{g ∈ S'} gは全射。 で∪_{g ∈ S'} gが全単射になる事は示せました。